直线的倾斜角.斜率知识点例题

-1-直线的倾斜角和斜率（一）一、知识点：1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线新疆学案王新敞在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率新疆学案王新敞2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____新疆学案王新敞因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是___________新疆学案王新敞倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是_____的直线没有斜率新疆学案王新敞二、范例：例1如图，直线1l的倾斜角1＝30°，直线1l⊥2l，求1l、2l的斜率.例2已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)＝0°；（2）＝60°；(3)＝90°；（４）＝43例3、判断正误：①直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan（）②直线的斜率值为tan，则它的倾斜角为（）③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（）④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在（）l2l112xOy-2-四、课堂练习：1.直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是()A.4B.45C.4或45D.－42.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或43.已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是.4.已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是.5.已知O(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线OP的斜率是.6.已知),(),,(222111yxPyxP，当21xx时，直线21PP的斜率k=；当21xx且21yy时，直线21PP的斜率为,倾斜角为.思考：如图中的直线123,,lll的斜率的大小关系为_____________-3-直线的倾斜角和斜率（二）一、知识点1.斜率公式：经过两点),(),,(222111yxPyxP的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk新疆学案王新敞推导：设直线21PP的倾斜角是，斜率是k，向量21PP的方向是向上的(如上图所示).向量21PP的坐标是),(1212yyxx.过原点作向量21PPOP，则点P的坐标是),(1212yyxx，而且直线OP的倾斜角也是，根据正切函数的定义，1212tanxxyy)(21xx即)(211212xxxxyyk新疆学案王新敞同样，当向量12PP的方向向上时也有同样的结论.当2121,yyxx（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率新疆学案王新敞二、范例：例1求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角①)3,2(1P、)8,2(2P;②)2,5(1P、)2,2(2P;③)2,1(1P、2(3,4)P例3若三点)3,2(A，)2,3(B，),21(mC共线，求m的值POP2P1xyPOP1P2Xy-4-例4已知三角形的顶点)5,0(A，)2,1(B，),6(mC，BC中点为D，当AD的斜率为1时，求m的值及AD的长新疆学案王新敞例5若直线l的倾斜角(,)43，则其斜率k的范围为___________变式：直线l过(4,1)A2,(3,)()BaaR两点，则直线l的倾斜角的取值范围为。例6.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()新疆学案王新敞A.k≥43或k≤－4B.－4≤k≤43C.43≤k≤4D.－43≤k≤4四、课堂练习：1.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为,倾斜角为2.已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为________.-5-3.已知直线l过A(－2,(t+t1)2)、B(2,(t－t1)2)两点，则此直线斜率为,倾斜角为___新疆学案王新敞4.已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为21，则x=新疆学案王新敞五、课后作业：1、若直线l的倾斜角=4，则其斜率k=_____________2、若直线l的斜率k=3，则其倾斜角____________3、若直线l过（1，2）和（3，4），则其倾斜角____________4、已知三点A（3，1）B（－2，K）C（8，11）共线，则K的取值为_______5.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是()A.a=4,b=0B.a=－4,b=－3C.a=4,b=－3D.a=－4,b=36.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围.(2)求直线l的倾斜角的取值范围.7.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.8.过P(－1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角新疆学案王新敞-6-直线的倾斜角和斜率&直线的方程一、知识点（一）直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．(二)直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90的直线没有斜率新疆学案王新敞对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．-7-（三）直线的方程1.直线的点斜式方程--已知直线l经过点),(111yxP，且斜率为k，直线的方程：)(11xxkyy为直线方程的点斜式.直线的斜率0k时，直线方程为1yy；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1xx.2．直线的斜截式方程－已知直线l经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线l的方程：bkxy为斜截式.⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.⑵斜截式bkxy在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当0k时，斜截式方程才是一次函数的表达式.⑶斜截式bkxy中，k，b的几何意义新疆学案王新敞3.直线方程的两点式当21xx，21yy时，经过),(11yxAB（),22yx的直线的两点式方程可以写成：121121xxxxyyyy.倾斜角是00或090的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为))(())((121121yyxxxxyy的形式.4．直线方程的截距式定义：直线与x轴交于一点（a,0）定义a为直线在x轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.过A(a,0)B(0,b)（a,b均不为0）的直线方程1byax叫做直线方程的截距式.a,b表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式.5.直线方程的一般形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成0CByAx(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式新疆学案王新敞若0B方程可化为BCxBAy，它是直线方程的斜截式，表示斜率为BA，截距为BC的直线；-8-二、典型例题1.设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0，则,ab满足（）A.1baB.1baC.0baD.0ba2.已知0,0abbc，则直线axbyc通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.直线1x的倾斜角和斜率分别是（）A.045,1B.0135,1C.090，不存在D.0180，不存在4.若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（）A.0mB.23mC.1mD.1m，23m，0m5.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）A（-2，1）B（2，1）C（1，-2）D（1，2）6.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）（A）x+5y-15=0(B)x=3(C)x-y+1=0(D)y-3=07．下列说法的正确的是（）A．经过定点Pxy000，的直线都可以用方程yykxx00表示B．经过定点bA，0的直线都可以用方程ykxb表示C．不经过原点的直线都可以用方程xayb1表示D．经过任意两个不同的点222111yxPyxP，、，的直线都可以用方程yyxxxxyy121121表示8．若直线ax＋by＋c=0在等一，二，三象限，则（）-9-A．ab＞0，bc＞0，B．ab＞0，bc＜0．C．ab＜0，bc＞0，D．ab＜0，bc＜0．9．直线过点(－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（）（A）2x－3y＝0;（B）x＋y＋5＝0;（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0（D）x＋y＋5或x－y＋5＝010．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为（）（A）－;31（B）－3;（C）;31（D）311．直线,31kykx当k变动时，所有直线都通过定点（）（A）（0，0）（B）（0，1）（C）（3，1）（D）（2，1）12．过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是.