浙教版特殊三角形知识点及训练

1浙教版特殊三角形知识点及训练课题等腰三角形知识精讲教学目标1.等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。2.等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。3.推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。4.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。重点、难点重点内容有两个：一是等腰三角形的性质与识别方法；二是学会三角形中相等的角和相等的边的相互转化．难点是等腰三角形的识别方法和性质的区别．考点及考试要求1,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2,相等的两边叫腰，另一条边叫底边．如AB、AC叫腰，BC叫底边．3,两腰所夹的角，如∠BAC叫做顶角，底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．4,顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．5,等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）．6,等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．7,等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．8,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．教学内容知识框架本章掌控小结：1.__________________的三角形叫做等腰三角形。2.等腰三角形是轴对称图形，顶角__________________是它的对称轴。等边三角形有__________________条对称轴。3.等腰三角形的两个__________________相等。等腰三角形的顶角平分线、__________________和__________________互相重合。如果一个是三角形有__________________角相等，那么这个三角形是等腰三角形。4.三边都相等的三角形叫做_________。____________三角形的内角都相等，且等于________度。5.有一个角是直角的三角形叫做___________，记做_______。两条直角边_________的直角三角形叫做等腰直角三角形。6.直角三角形的性质：2（1）在直角三角形中，两个锐角__________。（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的___________。（3）勾股定理：直角三角形______________的平方和等于___________的平方。如果用字母a，b，c分别表示两条直角边和斜边，那么有关系式__________________。7.直角三角形的判定：（1）有两个角__________的三角形是直角三角形。（2）如果三角形中两边的_______________等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。8.______________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。9.角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的_______________上。10.主要方法和技能：（1）运用等腰三角形、直角三角形的性质，进行简单的推理。（2）等腰三角形和直角三角形的判定。（3）判定两个直角三角形全等。（4）有关等腰三角形和直角三角形的尺规作图。考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用典型例题例1.（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm分析：（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是70°时，则底角为12×70°＝35°或顶角是180°－70°＝110°，则底角是12（180°－110°）＝35°；若它是底角的外角，则底角为110°，但是两个底角的和为220°＞180°，所以这种情况不合理．（2）根据三角形的三边关系可知当以3cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以3cm为底边，6cm为腰，所以其周长为6＋6＋3＝15cm．解：（1）35（2）C例2.已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC＝BC．试求∠A的度数．ABCD分析：本题关键是用“等边对等角”来建立各角之间的关系，然后借助三角形内角和建立等量关系，从而解决问题．解：设∠A＝x，因为AD＝DC，所以∠DCA＝∠A＝x（等边对等角）．所以∠BDC＝∠A＋∠DCA＝2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和）．又因为DC＝BC，所以∠B＝∠BDC＝2x（等边对等角）．因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝2x（等边对等角）．因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和等于180°），3所以x＋2x＋2x＝180°，即x＝36°，所以∠A＝36°．知识概括、方法总结与易错点分析评析：（1）在解有关等腰三角形的问题时，若题设中对“腰”还是“底边”或“顶角”还是“底角”指示不明，解题时要分类讨论．（2）等腰三角形的性质经常结合三角形外角性质以及三角形内角和定理来解决有关角度计算问题．其中等腰三角形的性质与三角形外角性质是建立角之间关系的依据，三角形内角和定理是建立等量关系的依据．同时将几何问题转化为方程问题也是我们要掌握的一种数学方法．针对性练习例：1，请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。考点二：三线合一、实际应用的图形转换典型例题例3.如图所示，已知D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．试说明：BD＝CE．ABCDEF分析：本题可以通过△ABD≌△ACE来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．解：作AF⊥BC于F．因为AB＝AC，AF⊥BC．所以BF＝FC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．同理可证DF＝EF．所以BD＝CE．例4.如图所示，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，那么BH＝AC吗？说明道理．4ABCHDE分析：由∠ABC＝45°，AD⊥BC可得△ABD是等腰直角三角形，所以BD＝AD．BH和AC是Rt△BHD和Rt△ACD中对应的斜边．本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手．解：因为∠ABC＝45°，AD⊥BC，所以△ABD是等腰直角三角形，所以BD＝AD．CADCBECADCCBEC9090在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠CBE＝∠CAD，∠HDB＝∠CDA＝90°．BD＝AD所以Rt△BHD≌Rt△ACD（AAS）．所以BH＝AC．例5.如图所示，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE＝CD，试说明△BDE是等腰三角形．ABCDE分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．解：在等边△ABC中，因为BD是AC边上的中线，所以BD平分∠ABC．又因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝30°又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E＝12∠ACB＝30°．所以∠DBC＝∠E．所以△BDE是等腰三角形．例6如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？5ABCD15°30°N分析：作CD⊥BN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD＞12.3，则无触礁危险；若CD≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD．解：作CD⊥BN于D．AB＝12×（11－9）＝24（海里）．因为∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，所以∠BCA＝∠NBC－∠NAC＝30°－15°＝15°．所以∠BCA＝∠BAC，所以BC＝AB＝24（海里）（等角对等边）．在△CDB中，∠CDB＝90°，∠DBC＝30°，所以CD＝12BC＝12（海里）．因为12＜12.3，所以该渔船继续向正北航行，有触礁危险．知识概括、方法总结与易错点分析评析：（1）过去我们习惯利用三角形全等来证明线段相等和角相等，通过本例可以看出，有时利用等腰三角形的性质证明则更为简便．由本例还可以看到，图形中若具有很强的“左右对称性”，可以联想构造“三线合一”．（2）解决实际问题的关键是构造直角三角形，把角的问题转化为线段问题．针对性练习：例：1.如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是多少度。2、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶6点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为多少。3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．