教学课件：1.2.2.2第2课时分段函数及映射.ppt

第2课时分段函数及映射1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射的概念.1.分段函数求值．(重点)2.对映射概念的理解．(难点)1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.解析：设t＝2x＋1，则x＝t－12，∴f(t)＝t－122＋1.从而f(x)＝x－122＋1.答案：x－122＋12．作出下列函数的图象．(1)y＝x，|x|≤1；(2)y＝1－x，x∈Z且|x|≤2；(3)y＝x2－xx－1.解析：(1)此函数图象是直线y＝x的一部分．(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上．(这样的点叫做整点)(3)先求定义域，在定义域上化简函数式y＝x2－xx－1＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_________，则称这样的函数为分段函数．2．映射设A、B是两个_____的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应_______为从集合A到集合B的一个映射．对应关系非空任意一个唯一确定f：A→B课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念安全文明网安全文明驾驶常识模拟考试安全文明驾驶常识2016年安全文明驾驶常识模拟2016文明驾驶2016文明驾驶考题安全文明网科四安全文明驾驶考试安全文明网安全文明驾驶考试安全文明网安全文明驾驶考试安全文明网安全文明驾驶考试科目4考试安全文明驾驶考试科目四考试安全文明驾驶常识考试1．已知函数f(x)＝x＋1x≤1－x＋3x＞1，则f52＝()A．－12B.12C.52D.92答案：B2．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是()解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．故选C.答案：C3．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是________．解析：∵f(x)的图象是由两条线段组成，∴由一次函数解析式求法可得f(x)＝x＋1－x－1≤x＜0，0≤x≤1.答案：f(x)＝x＋1－xx∈[－1，0x∈[0，1]4．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝3x＋5，x≤0，x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.(1)求f32，f1π，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值．解析：(1)∵32＞1，∴f32＝－2×32＋8＝5.∵0＜1π＜1，∴f(1π)＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)如图所示．在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值为6.分段函数及应用已知函数f(x)＝x＋2x≤－3x2－3＜x＜32xx≥3，求(1)f(－5)，(2)f(－3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4)))的值．[解题过程](1)∵－5＜－3∴f(－5)＝－5＋2＝－3(2)∵－3＜－3＜3∴f(－3)＝(－3)2＝3(3)f(3)＝2×3＝6(4)∵－4＜－3，∴f(－4)＝－4＋2＝－2；又∵－3＜－2＜3，∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4；又∵4＞3，∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.[题后感悟](1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．1.已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2＜x＜2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值；(3)若f(m)＞m，求实数m的取值范围．解析：(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，－2＜－32＜2，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去．②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.(3)f(m)＞m⇔m≤－2m＋1＞m或－2＜m＜2m2＋2m＞m或m≥22m－1＞m⇔m≤－2或－2＜m＜2m＜－1或m＞0或m≥2m＞1⇔m≤－2或－2＜m＜－1或0＜m＜2或m≥2⇔m＜－1或m＞0.∴所求m的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．分段函数的图象已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx的值域[规范作答](1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，2分当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.4分∴f(x)＝10≤x≤21－x－2＜x＜06分(2)函数f(x)的图象如图所示，10分(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).12分[题后感悟](1)如何去掉函数解析式中的绝对值符号？采用零点分段法：①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出对应的x值，设为x1，x2；②把求出的x值标在x轴上，如图．③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．2.已知f(x)＝x2－1≤x≤11x＞1或x＜－1(1)画出f(x)的图象；(2)求函数f(x)的定义域和值域．解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．映射的概念及运用如下图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A．3B．4C．5D．6从映射定义出发，观察A中任一元素在B中是否都有唯一元素与之对应.序号是否为映射原因①是满足取元任意性、对应元素唯一性.②是满足取元任意性、对应元素唯一性.③是满足取元任意性、对应元素唯一性.[解题过程]④不是是一对多，不满足对应元素唯一性.⑤不是是一对多，不满足对应元素唯一性.⑥不是a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.答案：A[题后感悟]判断一个对应是否为映射的关键是什么？①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应；②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一．[注意]①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．②想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．3.下列对应是从A到B的映射的是()A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝xC．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2解析：A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D.答案：D4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：图①，图②符合映射定义，图③集合M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．答案：C1．正确认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．正确理解映射概念(1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的．(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形式．◎下列命题：(1)函数是定义域到值域的映射；(2)f(x)＝x－3＋2－x是函数的解析式；(3)函数y＝3x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数f(x)＝x与g(x)＝x2是同一函数．其中正确命题的序号是________．【错解】(1)、(2)、(3)、(4)【错因】第(2)个命题忽视了定义域，因为y＝x－3＋2－x的定义域为∅，所以它不是解析式；第(3)个命题中的函数的定义域为N，其图象由点构成；第(4)个命题，由于g(x)＝x2＝|x|，所以两函数的对应法则不同，不是同一函数．【正解】(1)