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§1.1集合1.1.1集合的含义与表示学习目标1.理解集合的含义及集合中元素的特性．2．掌握元素与集合间的关系，记住数学中的一些常用数集符号．3．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．4．体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点1．初中时接触过一些集合，你还记得“自然数的集合”、“有理数的集合”的含义吗？自然数的集合包含：____________；有理数的集合包含：______________．2．你还会求不等式x＋23的解吗？解为：_______，即所有大于1的数．3．到一个定点的距离等于定长的点的集合是_______．零和正整数整数和分数x1温故夯基圆1．元素与集合的概念一般地，(1)我们把___________统称为______，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)我们把一些元素组成的总体叫做_______(简称集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．知新益能研究对象元素集合2．集合中元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是___________．(2)互异性：一个给定集合中的元素是_________．(3)无序性：集合中的元素是________，如{a，b，c}与{c，b，a}是同一集合．3．元素与集合之间的关系(1)如果a是集合A的元素，就说______________，记作_________.(2)如果a不是集合A的元素，就说_______________，记作________.确定的互异的无序的a属于集合Aa∈Aa不属于集合Aa∉A4．常用数集及表示符号：名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________N*或N＋ZNQR1．你班里“数学成绩好的同学”能组成集合吗？提示：不能组成集合，“成绩好”没有确定的标准，即集合中的元素是不确定的．2．你班里“第一组的同学”能组成集合吗？提示：能组成集合，集合中的元素就是第一组的全体同学．3．如果集合A中有两个元素a和a2，那么对于a有什么限制？提示：两个元素，根据集合中元素的确定性，互异性，得a≠a2，所以a≠0且a≠1.问题探究课堂互动讲练考点突破考点一集合的组成判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．例1考察下列每组对象能否组成一个集合？(1)2019年参展上海世博会的所有展馆；(2)2019年上海世博会的所有漂亮的展馆；(3)参加2019年元旦晚会的所有同学；(4)直角坐标系中，接近原点的点．【思路点拨】根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判定．【解】(1)中“所有展馆”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．考点二集合元素的特征根据集合中元素的确定性可以解出字母所有可能的取值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．例2已知集合A含有三个元素1,0，x.若x2∈A，求实数x的值．【思路点拨】分别令x2＝0，1或x→解方程求x→检验得x值【解】若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个相同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；当x＝－1时，集合A中三个元素为1,0，－1，符合．若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知：x＝－1.【点拨】在解答本题的过程中，易出现根据x2＝0，x2＝1，x2＝x解得x的值，而不考虑集合中元素特性的错误，导致该种错误的原因是忽视了元素的互异性．互动探究1若集合A为{1,2，x}，当x2∈A时，求x的值．解：∵x≠1，∴若x2＝1时，则x＝－1.若x2＝2，则x＝±2.若x2＝x，则x＝0.∴x的值为－1或±2或0.元素与集合的关系有两种：属于、不属于，主要依据集合中元素的确定性，即看元素是否符合集合的属性．考点三元素与集合的关系例3设集合B中的元素a满足：当a∈N时，62＋a∈N.(1)试判断元素1,2,3与集合B的关系；(2)写出集合B的所有元素．【思路点拨】当a＝1,2,3时分别代入62＋a，验证是否属于N.【解】(1)当a＝1时，62＋1＝2∈N.当a＝2时，62＋2＝32∉N.当a＝3时，62＋3＝65∉N.∴1∈B,2∉B,3∉B.(2)当a＝0时，62＝3∈N.当a＝4时，62＋4＝1∈N.当a＝5时，62＋a＝67∉N.综合(1)(2)可得，B中的元素有0,1,4.互动探究2在本例中，将“集合B＝{x∈N|62＋x∈N}”改为“集合M＝{x∈N|61＋x∈Z}”，怎样求M?解：∵x∈N，且61＋x∈Z，∴1＋x＝1,2,3,6，∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．方法技巧1．判断元素能否组成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合；否则就不能组成集合．(如例1)2．对于含参数的集合问题，常要利用集合中元素的确定性、互异性，对所求出的参数值进行检验．(如例2)方法感悟3．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．(如例3)失误防范1．符号“∈”“∉”是用来表示元素与集合之间关系的，不能用在集合与集合之间．一个元素a与一个集合A，要么有a∈A，要么有a∉A，两者必具其一且只具其一．2．利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参变量的值时，必须同时注意检验元素是否满足互异性．(1)把集合的元素_________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(2)用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法．具体的方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．一一列举共同特征5.集合的表示1．集合{x|x1}与集合{y|y1}是否表示同一集合？答：虽然两个集合的代表元素不同，但实质上它们均表示大于1的所有实数，故是同一集合．2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．它们各自的含义是什么？它们是不是相同的集合？答：集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，自主探究∴实质上{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1中的y的取值范围是y≥1，∴实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足条件y＝x2＋1中的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．由以上可知它们不是相同的集合．1．集合{x|1≤x≤6，x∈N}中元素的个数为()A．5B．6C．7D．8解析：{x|1≤x≤6，x∈N}＝{1,2,3,4,5,6}．答案：B2．集合A＝{1,3,5,7，…}用描述法可表示为()A．{x|x＝n，n∈N}B．{x|x＝2n－1，n∈N}C．{x|x＝2n＋1，n∈N}D．{x|x＝n＋2，n∈N}解析：集合A表示所有的正奇数，故C正确．答案：C预习测评3．用列举法表示大于2小于15的偶数全体为________．答案：{4,6,8,10,12,14}4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.解析：∵|－1|＝1，|0|＝0，|1|＝1，故B＝{0,1}．答案：{0,1}1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？要点阐释(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．题型一用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(2)不大于10的非负偶数集；(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；典例剖析(1)方程组x＋y＝2x－y＝0的解集；解：(1)由x＋y＝2x－y＝0，得x＝1y＝1，故方程组的解集为{(1,1)}．(2)不大于10即为小于或等于10，非负是大于或等于0.故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．所以x＝0y＝3或x＝1y＝2或x＝2y＝1或x＝3y＝0.点评：当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示，用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．1．用列举法表示下列集合：①我国现有直辖市的全体；②方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集；③绝对值小于3的整数集合．解：①{北京、上海、天津、重庆}；②由x2－1＝0得x＝±1，由x2＋2x－8＝0得x＝2或x＝－4，故方程的解集为{－4，－1,1,2}；③{－2，－1,0,1,2}．题型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(4)在平面直角坐标系中，两坐标轴上点的集合．解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；(3){x|x≤2，且x≠0，x∈R}；(4){(x，y)|xy＝0}．(3)使y＝2－xx有意义的实数x的集合；点评：(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无限的集合．(2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点：①写明该集合的代表元素及所属范围；②表达清楚该集合中元素的共同属性；③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；④所有描述的内容都要写在花括号内；⑤用于描述的语句力求简明、准确．2．用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x－65的解集；(4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．(3){x|4x－65，x∈R}．(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．题型三列举法和描述法的灵活运用【例3】用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为∴方程的解集为{(2，－3)}．(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴x＝2y＝－3，(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．3．用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是