高中数学常用二级结论

常见二级结论1/25常见二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1已知函数fx和gx均为奇函数，2hxafxbgx在区间0,上有最大值5，那么hx在,0上的最小值为A.－5B.－3C.－1D.5【答案】C【变式训练】1．已知函数221sin201722017xxfxx，则201702017iif=______．2．已知函数221(1xcosxsinxfxxcosxxR)的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________．结论二函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2【2018江西南昌集训】已知定义在R上的奇函数fx满足3fxfx，且21f，则20162017ff（）A.0B.1C.1D.2常见二级结论2/25【答案】B【变式训练】1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R的奇函数fx满足30fxfx,且当3,02x时,2log27fxx,则2017fA.2log5B.2C.2D.2log52.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(100)=()A.-1B.0C.1D.2结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例3【2018四川省广元市统考】已知定义在R上的函数fx满足(1)(1)2fxfx，311gxx，若函数fx图象与函数gx图象的交点为112220182018,,,,,,xyxyxy，则20181iiixy（）A.8072B.6054C.4036D.2018【答案】B常见二级结论3/25【变式训练】1.【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数fx是定义在R上的偶函数，且22fxfx，当2,0x时，212xfx，若在区间2,6内关于x的方程log20(0,1)afxxaa有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A.1,14B.14，C.18，D.8+，2.【2018贵州省遵义市模拟】已知3201725xfxx，函数gx对任意xR有20182322013gxgx成立，yfx与ygx的图象有m个交点为11,xy，22,xy…，,mmxy，则1miiixy（）A.2013mB.2015mC.2017mD.4m结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.例4【2018四川省成都市9校联考】已知函数2fxxax（1xee，e为自然对数的底数）与xgxe的图象上存在关于直线yx对称的点，则实数a取值范围是A.11,eeB.11,eeC.11,eeeeD.1,eee常见二级结论4/25【答案】A【变式训练】设方程24xx的根为m，方程2log4xx的根为n，则mn________；结论五两个经典不等式(1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时,f(x)≥.证明x-1时,f(x)≥⇔x-1,1-e-x≥⇔1-≥e-x(x-1)⇔≥(x-1)⇔x+1≤ex(x-1).当x-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x-1时,f(x)≥.跟踪集训1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为()2.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.常见二级结论5/25结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.例6在△ABC中,已知D是AB边上一点,若12,3ADDBCDCACB,则A.13B.23C.13D.23【答案】B【变式训练】1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且22=1111APmABBC，则实数m的值为（）A.1B.12C.911D.5112.【2018湖北省襄阳市调研】两个不共线向量OAOB、的夹角为θ，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且OCxOAyOBxyR，，则22xy的最小值为_______．结论七三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||=.常见二级结论6/25(2)O为△ABC的重心⇔++=0.(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.例7已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过()A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点答案C【变式训练】1.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列设Sn为等差数列{an}的前n项和.常见二级结论7/25(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,„构成的数列是等差数列.(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.(5)Sn====„.(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.例8设数列na的前n项和Sn，且21nan，则数列nSn的前11项为（）A.45B.50C.55D.66【答案】D【解析】21,nan数列na是首项为1，以2为公差的等差数列，21212nnnSn，2,nSnnnn数列nSn是以1为首项和公差的等差数列，数列nSn前11项和为11101111662，故选D.【变式训练】1.等差数列na共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为（）A.50B.75C.100D.1252.【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列na的公差0d，na的前n项和为nS，若50a，则下列结论中正确的是（）常见二级结论8/25A.nS是递增数列B.nS是递减数列C.2nS有最小值D.2nS有最大值3.已知项数为奇数的等差数列na共有n项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数n的值是__________.结论九等比数列已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.(3)a1a2a3„am,am+1am+2„a2m,a2m+1a2m+2„a3m,„成等比数列(m∈N*).(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,„成等比数列(n∈N*).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.例9【2018河南省中原名校第五次联考】已知等比数列na的前n项和为nS，且3624,216SS，则数列na的公比为（）A.3B.13C.12D.2【答案】D常见二级结论9/25【变式训练】1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列na的前n项积为nT，若124a，489a，则当nT取得最大值时，n的值为（）A.2B.3C.4D.62.已知数列na的前n项和为nS，且满足：*12211,2,1nnnaaSaanN，则nS___________.结论十多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.例10《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面,3,4,5ABCPAABAC，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.17B.25C.34D.50【答案】C【变式训练】如图，在等腰梯形ABCD中，22ABCD