湘教版九年级数学下册教案全册

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1湘教版九年级数学下册教案1.1二次函数1.掌握二次函数的概念,能识别一个函数是不是二次函数;(重点)2.能根据实际情况建立二次函数模型,并确定自变量的取值范围.(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米,窗户面积为y(平方米),窗户宽为x(米),你能写出y与x之间的函数关系式吗?它是什么函数呢?二、合作探究探究点一:二次函数的相关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数?(1)y=2-x2;(2)y=1x2-1;(3)y=2x(1+4x);(4)y=x2-(1+x)2.解析:(1)是二次函数;(2)是分式而不是整式,不符合二次函数的定义,故y=1x2-1不是二次函数;(3)把y=2x(1+4x)化简为y=8x2+2x,显然是二次函数;(4)y=x2-(1+x)2化简后变为y=-2x-1,它不是二次函数而是一个一次函数.解:二次函数有(1)和(3).方法总结:判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式;②所表示的函数关系式有唯一的自变量;③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2,且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y=(k+2)xk2-2是y关于x的二次函数,则k的值为多少?解析:紧扣二次函数定义求解,注意易错点为忽视k+2≠0.解:根据题意知k2-2=2,k+2≠0,解得k=±2,k≠-2,∴k=2.方法总结:紧扣定义中的两个特征:①二次项系数不为零;②自变量最高次数为2.2变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数,当x=0时,y=0;当x=2时,y=12;当x=-1时,y=18.求这个二次函数中各项系数的和.解析:解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).把x=0,y=0;x=2,y=12;x=-1,y=18分别代入函数表达式,得c=0,4a+2b+c=12,a-b+c=18,解得a=18,b=0,c=0.所以这个二次函数的表达式为y=18x2.所以a+b+c=18+0+0=18,即这个二次函数中各项系数的和为18.方法总结:涉及有关二次函数表达式的问题,所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0).解决这类问题要根据x,y的对应值,列出关于字母a,b,c的方程(组),然后解方程(组),即可求得a,b,c的值.探究点二:建立简单的二次函数模型一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小长方形.剩余部分的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出y是x的什么函数?(2)当x的值为2或4时,相应的剩余部分的面积是多少?解析:几何图形的面积一般需要画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.如图所示.解:(1)y=122-2x(x+1),又∵2x≤12,∴0x≤6,即y=-2x2-2x+144(0x≤6),∴y是x的二次函数;(2)当x=2时,y=-2×22-2×2+144=132,当x=4时,y=-2×42-2×4+144=104,∴当x=2或4时,相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.方法总结:二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型.许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系,建立二次函数模型来解决.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计3本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.1.2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.会用描点法画二次函数y=ax2(a0)的图象,理解抛物线的概念;(重点)2.掌握形如y=ax2(a0)的二次函数的图象和性质,并会应用其解决问题.(重点)一、情境导入自由落体公式h=12gt2(g为常量),h与t之间是什么关系呢?它是什么函数?它的图象是什么形状呢?二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2(a0)的图象已知y=(k+2)xk2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.解析:根据二次函数的定义,自变量x的最高次数为2,且二次项系数不为0,这样能确定k的值,从而确定表达式,画出图象.4解:(1)∵y=(k+2)xk2+k为二次函数,∴k2+k=2,k+2≠0,解得k=1;(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:x-1-120121…y=3x23340343…描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.方法总结:列表时先取原点(0,0),然后在原点两侧对称地取四个点,由于函数y=ax2(a≠0)图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标,左侧对应写出即可.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二:二次函数y=ax2(a0)的性质已知点(-3,y1),(1,y2),(2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是________.解析:方法一:把x=-3,1,2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1y3y2;方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1y3y2;方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y3).又∵321,∴y1y3y2.方法总结:比较二次函数中函数值的大小有三种方法:①直接把自变量的值代入解析式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,但当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点三:二次函数y=ax2(a0)的图象与性质的简单应用5已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.(1)求满足条件的m的值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?解析:由二次函数的定义知:m2+m-4=2且m+2≠0;抛物线有最低点,则抛物线开口向上,即m+20.解:(1)由题意得m2+m-4=2,m+2≠0,解得m=2或m=-3,m≠-2,∴当m=2或m=-3时,原函数为二次函数;(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,∴m+20,即m-2,∴取m=2.∴这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0).当x0时,y随x的增大而增大.方法总结:二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0;函数有最低点即开口向上.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2(a0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.会用描点法画二次函数y=ax2(a0)的图象;(重点)2.掌握形如y=ax2(a0)的二次函数的图象和性质,并会应用其解决问题.(重点)一、情境导入上节课我们学习了a0时二次函数y=ax2的图象和性质,那么当a0时,二次函数y=ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢?6二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2(a0)的图象【类型一】二次函数y=ax2(a0)的图象在直角坐标系内,作出函数y=-12x2的图象.解析:作函数的图象采用描点法,即“列表、描点、连线”三个步骤.解:列表:x012…y=-12x20-12-2…描点和连线:画出图象在y轴右边的部分,利用对称性,画出图象在y轴左边的部分,如图.方法总结:(1)列表应以0为中心,选取x0的几个点求出对应的y值;(2)描点要准;(3)画出y轴右边的部分,利用对称性,可画出y轴左边的部分,连线要用平滑的曲线,不能是折线.【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab0时,抛物线y=ax2与直线y=ax+b在同一直角坐标系中的图象大致是()解析:根据a、b的符号来确定.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上.∵ab0,∴b0.∴直线y=ax+b过第一、二、三象限;当a0时,抛物线y=ax2的开口向下.∵ab0,∴b0.∴直线y=ax+b过第二、三、四象限.故选D.方法总结:本例综合考查了一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象和性质.因为在同一问题中相同字母的取值是相同的,所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二:二次函数y=ax2(a0)的性质【类型一】二次函数y=ax2(a0)的性质(2015·山西模拟)抛物线y=-4x2不具有的性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.在对称轴的左侧,y随x的增大而增大D.最高点是原点解析:此题应从二次函数的基本形式入手,它符合y=ax2的基本形式,根据它的性质,7进行解答.因为a=-4<0,所以图象开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴,最高点是原点.在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.故选A.方法总结:抛物线y=ax2(a0)的开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.当x=0时,图象有最高点,y有最大值0.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y=ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图,四个二次函数图象中,分别对应:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a、b、c、d的大小关系为()A.abcdB.abdcC.bacdD.badc答案:A方法总结:抛物线y=ax2的开口大小由|a|确定,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三:二次函数y=ax2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求:(1)a,b的值;(2)函数y=ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标;(3)△AMB的面积.解析:直线与二次函数y=ax2的图象交点坐标可利用方程求解,而求△AMB的面积,一般应画出草图进行解答.解:(1)∵点A(1,b)是直线y=2x-3与二次函数y=ax2的图象的交点,∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式,∴b=a×12,b=2×1-3,∴a=-1,b=-1;(2)由(1)知二次函数为y=-x2,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0).由-x2=2x-3,解得x1=1,x2=-3,∴y1=-1,y2=-9,∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(-3,-9);(3)如图所示,作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C、D,根据点的坐标的意义,可知MD=3,MC=1,CD=1+3=4,BD=9,AC=1,∴S△AMB=S梯形ABDC-S△ACM-S△BDM=12×(1+9)×4-12×1×1-12×3×9=6.8方法总结:解答此类题目,最好画出草图,利用数形结合,解答相关问题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课仍然是从学生画图象着手,结合上节课y=ax2(a>0)的图象和性质,从而得出y=ax2(a<0)的图象

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