正余弦定理知识点权威总结

正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、内容1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC3、推论①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④sinsinsinsinabcaABCA222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab4、注意（1）在△ABC中，已知A,a,b，讨论三角形解的情况先由aAbBsinsin可进一步求出B；则C=180°-(A+B),从而ACacsinsin（2）在ΔABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（∵sinAsinB22abRRabAB）由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。（注意：A是锐角/△ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）5、三角形面积公式三角形面积公式：①111sinsinsin222CSbcabCac；②prcpbpappSABC))()((，其中2cbap，r为内切圆半径；③RabcSABC4，R为外接圆半径．6、已知两边和其中1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2.当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角7、解三角形的一般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求角C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解。二、例题精讲&变式练习考点一：运用正余弦定理解三角形例题1：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．变式1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3变式2：在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．规律小结：对于已知两边及其中一边的对角，或者已知两个角以及任意一边的情况下，套用正弦定理，可以直接求出对应的角或边．考点二：运用余弦定理解三角形例题2：在ABC中，已知23a，62c，B=45°，求b及A变式1：在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.规律小结：在已知两边及夹角可利用余弦定理求出第三边；在已知三边的情况下，可利用余弦定理求出任意边所对的角。考点三：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗（1）（10上海文）若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC则△ABCA．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.（2）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于______，AC的取值范围为________．解析：1．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析2．在△ABC中，sinA＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.152，＋∞B．(10，＋∞)C．(0,10)D.0，403答案D解析3．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形4、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：例题3：在ABC中，若60B，cab2，试判断ABC形状变式1：在ABC中，已知2cossinsin2ACB，则ABC为三角形．变式2：在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．变式3：在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．变式4：在三角形ABC中，若acosB=bcosA，试判断这个三角形的形状变式5：在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形形状．规律小结：判断三角形形状的题型中，常常只给出三边的关系，或者正余弦之间的关系式，那么，在做这类题型时，常常要将题目中的所有角度利用正余弦全部转化为边的关系，进而化简得到特殊关系；或者将所有的边利用正弦定理转化为角度的关系，再利用三角恒等公式或者辅助角公式进行变换，最后得到特殊角，进而求解．考点四：面积问题〖例3〗（2009浙江文）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值．1、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．2、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=13。（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积。BDCA3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知cosAcosB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径．解4．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解：例题4：在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.变式1：在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为.变式2：在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.变式3：考点五：利用正余弦定理求角〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△ABC中，D为BC边上一点，CAD　BAD,，10103cos,552cos．（1）求BAC的大小；1.（2010山东文）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a，2b,sincos2BB,则角A的大小为.【解析】BDCA考点六：证明恒等式1：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知,sin()sin()444AbCcBa。求证：2BC变式1：变式2：在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。求证：在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。求证：考点七：运用余弦定与向量的综合例题6：已知错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的三内角，且其对边分别为错误!未找到引用源。．若向量错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，向量错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。.(1)求错误!未找到引用源。的值；(2)若错误!未找到引用源。，三角形面积错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值．：考点：三角函数的性质以及解三角形变式练习2、（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．考点八：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗（11浙江文）在ABC中，角,,ABC所对的边分,,abc.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB（）A．12B．12C．-1D．11.在△ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是（A）(0,]6（B）[,)6（C）(0,]3（D）[,)32.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶23．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________4．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.考点九：正弦定理、余弦定理的综合应用1.已知三角形△ABC，∠B=450，AC=，（1）求sinA；（2）求BC的长；（3）若D是AB的中点，求中线CD的长．102.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．4.在ABC△中，5cos13A，3cos5B．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设5BC，求ABC△的面积．5.设ABC△的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．(1)6.在ABC中，内角ABC、、的对边长分别为abc、、.已知222acb，且sin4cossinBAC，求b.7.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb2，求B.8.已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C．9.△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33,5sin13B,3cos5ADC.求AD.10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知sincsin2sinsin,aACaCbB（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若075,2,Abac求与11：在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且510sin,sin.510AB（Ⅰ）求A+B的值；（Ⅱ）若21,aba求、b、c得值.12、考点十：正余弦定理与向量、数列的综合应用3\四、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求角C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可