基本初等函数与初等函数

a数学开启科学大门的钥匙第一节第一节映射与函数映射与函数1.邻域:.0,且是两个实数与设a).,(aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{),(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a,}{邻域的称为点数集aaxx记一些概念说明:记号f和f(x)的区别:前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.说明:说明:函数的记号还可用“g”、“F”、“”等,此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等.同一题中,不同的函数应用不同的记号.设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意X中的元素x，按照某一对应规则f，Y中都有唯一的一个数y与之对应，则称规则f:XY为定义在X上的函数,通常简记为yf(x),其中x称为自变量,y称为因变量,X称为定义域,记作Df,即DfX.2.函数概念定义下页(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x]12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数若存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界.函数的有界性若存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界.若存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.下页3.函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性例、判断函数的奇偶性.11ln21.1xxy)1ln(.22xxy2.4xxeey2.3xxeeyxxysin.531、奇，2、奇，3、偶，4、奇，5、偶，6、偶xxxycos)|(|.62函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性4323xx或6—2x－x712x－例、求函数y=+arcsin的定义域.。，3.基本初等函数1）幂函数)(是常数xy2）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数)1,0(logaaxya4）三角函数与反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.oxy)1,1(112xyxyxy1xy2）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数)1,0(logaaxyaxayxay)1()1(axyalogxya1log)1(a4）三角函数正弦函数xysin与反三角函数[-1,1]，值域：定义域：R:]2,2[,sin的反函数求xxyarcsinxy22],1,1[yx值域定义域arcsinyx反正弦函数xycos余弦函数反余弦函数:],0[,cos的反函数求xxyyx0],1,1[值域定义域arccosyxxycotarc:),0(,cot的反函数求xxyyx0),,(值域定义域cotyarcxxycot余切函数R，值域：定义域：kx反余切函数22正切函数xytanR2，值域：定义域：kx:)2,2(,tan的反函数求xxyarctanyx反正切函数22),,(yx值域定义域(1)cot2xy,uy,cotvu.2xv由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.**分段函数不是初等函数**2sin(31)(2)xye例：分析下列复合函数的结构uye，2,uvsin,vw31wx设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.4.复合函数与初等函数定义:,自变量x,中间变量u,因变量y2xxeex2xxeexxxxxeeeechxshxxxxxxeeeeshxchxx双曲函数双曲正弦sh,双曲余弦ch,双曲正切th,双曲余切cth等都是初等函数.例1)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x综上所述.2,120011,,2,)]([2122xxxxxexexfxx)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设例1双曲函数与反双曲函数2xxeeshx双曲正弦chxyshxy),,(:D奇函数.2xxeechx双曲余弦),,(:D偶函数.1、双曲函数xey21xey21xxxeeeechxshxthxx双曲正切奇函数,),(:D有界函数,双曲函数常用公式;)(shychxchyshxyxsh;)(shyshxchxchyyxch;122xshxch;22chxshxxsh.222xshxchxch2、反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加在arshxy)1ln(2xxarshxy反双曲正弦.),1[内单调增加在),1[:Darchxy反双曲余弦).1ln(2xxarchxyarchxy.11ln21xx)1,1(:D奇函数,.)1,1(内单调增加在y反双曲正切artharthxyxarthxy例1已知函数,求.1)2(xxf)1(xf解321)2(xxxf31)1(xxf例2已知函数,求.21111xxfxf2112112111111222xxxxxxf解3)(xxf,1||,1,1||,0,1||,1)(xxxxfxexg)())(())((xfgxgf和0,10,00,1))((xxxxgf1,1,1,111,))((1xxexxexfg或，求，例3.________)]([,0,0,0)(,0,00,)(2xfxxxxxxxxf则例、20,0[()],0xfxxx0)(,00)(),()]([xxxxf解：时：0)()2(x000)(,0xxx时当时：0)()1(x00)(,02xxxx时当不成立时当00)(,0xx不成立时当0)(,02xxx