华师大七年级下册：第九章《多边形》考点例析

第九章《多边形》考点例析多边形一章以瓷砖的的铺设开始,以瓷砖的铺设结束,很好的体现了多边形知识源于生活,服务于生活的事实.为了帮助同学们熟练掌握多边形的有关知识,搞好期末复习，现将多边形中常见题型与考点举例说明如下，希望大家能有所斩获.考点一三角形的分类：例1．(1)在ABC△中,CBA3121,试判断ABC△的形状;(2)在ABC△中,CBA32,试判断ABC△的形状;(3)下列关于等腰三角形的说法正确的有___________①有且只有两条边相等的三角形叫做等腰三角形②有两条边相等的三角形叫做等腰三角形③等腰三角形都是锐角三角形④三角形可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形解析:(1)设Ax，则2,3BxCx，由三角形的内角和定理可知：23180xxx，解得30x，从而33090C，故ABC△是直角三角形.(2)设Ax,则11,23BxCx,由三角形的内角和定理可知：1118023xxx,解得98x，故故ABC△是钝角三角形.(3)等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.根据定义可知,①是错误的,②是正确的;等腰三角形的定义只是对边有限制,对角并无要求,故③是错误的;等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况,不应单独列为一类,故④是错误的.所以①②③④中只有②是正确的.点评:三角形的分类方式有两种,一种是从角的角度,这种分类方式的关键是看三个内角中的最大角是钝角、直角还是锐角.另一种是从边的角度，把三角形分为等腰三角形和不等边三角形.注意不要把这两种分类方式混在一起.考点二考查三角形中的三种线段例2.(1)能把三角形的面积两等分的线段是三角形的（）Ａ、高Ｂ、中线Ｃ、角平分线Ｄ、以上都不对(2)如图ABC△中，BC边上的高是（）Ａ、ADＢ、BEＣ、CFＤ、以上都不对(3)如图，△ABC中，∠B=32°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，求∠EAD的度数.解析:(1)中线把三角形分成两个等底等高的三角形,故应该选B.(2)BC边上的高应该是过BC边所对的顶点A向BC边做垂线,顶点A和垂足之间的线段即是BC边上的高,故选A.1(3)(90)2111180909090222111222EADEACDACBACCBCCBCCCBCB故∠EAD=11.5点评:三角形中的三种线段,把一个三角形分成了具有很强关联性的两个三角形,大大丰富了三角形的研究内容,熟练掌握这三种线段的特点,对掌握三角形的特点是很有帮助的.考点三三角形的外角：例3．(1)如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），5个角的顶点A，B，C，D，E把外面的圆5等分，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__________________．(2)如图，求证：AD:(1),180AGFBDAFGCEABDCEAAGFAFG解析(1)如图,(2)延长CD到E,可知,CDBBEDBEDA,故CDBA点评：三角形的外角是中考考查的热点,对外角的考查常常结合三角形的内角和定理,解决这类问题关键是要把多个角转移到一个三角形里面;在考查角的不等关系时最常用的就是“三角形的一个外角大于与它不相邻的内角”，所以，大多数时候需要构造如（2）题中的图形.考点四三角形的三边关系：例4．(1)有,,,abcd四条线段，其长度为2,4,5,7acmbcmccmdcm，任选三条线段组成三角形，其选法有______种.(2)在ABC中，6ABcm，13ACcm，求BC边的取值范围。(3)已知等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把原三角形的周长分为两部分，其差为3cm，求该等腰三角形的腰长。(4)如图所示，在ABC中，ABAC，D为AC上的一点，求证：1()2ACBDCD解析:(1)依题意,线段的搭配方式有4种:(1),,abc;(2),,abd;(3),,acd;(4),,bcd在(1)中,245,故能组成三角形;在(2)中,247,故不能组成三角形;在(3)中,257,故不能组成三角形;在(4)中,457,故能组成三角形.因此,选法有2种,应填“2”。(2)依照三角形的三边关系，有：136136BC，即719cmBCcm。(3)设腰长为xcm，依题意得：()(5)322xxx或(5)()322xxx解之得8x，或2x但当2x时，225应舍去。因此，该等腰三角形的腰长为8cm。(4)在ABD，ABADBD又因为ABAC，所以ACACCDBD即2ACBDCD，因此，1()2ACBDCD点评:（1）判断三条线段能否构成三角形，只要检验两条较短（小）线段之和能否大于长线段即可.若大于，则能构成三角形；否则，不能（2）根据“三角形的任何两边的和大于第三边”，有136136613BCBCBC,解之可得136136BC.实际上,列像136136613BCBCBC这样的不等式组,是求与三角形三边关系相关的字母取值范围的更一般的方法.(3)和等腰三角形的边相关的问题,很容易出现两种情况,不过要注意检验是否两种情况都能构成三角形.(4)和三角形的边的不等关系相关的问题,都要根据“三角形的任何两边的和大于第三边”,很多时候还要用到不等式的性质.考点五三角形的稳定性例5.在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（）Ａ．两点之间线段最短Ｂ．两点确定一条直线Ｃ．三角形的稳定性Ｄ．矩形的四个角都是直角考点六多边形的内角和与外角和例6（1）下列角度中，是多边形内角和的只有（）Ａ、270°Ｂ、560°Ｃ、630°Ｄ、1440°（2）凸多边形的内角中,锐角的个数最多有（）Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、3个Ｄ、4个（3）一个多边形除1个内角外，其余各内角和为2570，则这个内角的度数为（）Ａ、90Ｂ、105Ｃ、120Ｄ、130解析：（1）由多边形的内角和公式2180n可知,多边形的内角和是180°的倍数,观察验算四个选项知选D（2）假设有4个锐角,则相应的外角就有四个钝角,这四个钝角的和就大于360°,这与多DFCEAB边形的外角和等于360°不符,所以不能有4个锐角.如果有3个锐角,则相应只有三个外角是钝角,其和不会超过360°,所以凸多边形的内角中,锐角的个数最多有3个，故选C.（3）由25701418050可知,没有加上的内角为18050130点评:根据多边形内角和与外角和解题是中考考查的热点,解这类问题的关键是,要明确多边形的内角和是三角形内角和的整数倍.另外,因为内角与外角的天生的紧密联系,使得很多有关内角的问题需要转化成外角才容易解决,很多与外角有关的问题同样也可以转化成内角的问题.考点六图形的镶嵌一、同一种正多边形能铺满平面例7.(1)用同一种正多边形能铺满平面，有几种可能？并指出需几个这样的正多边形才能铺满平面.(2)如果用正三角形和正六形能铺满平面，有几种可能情况？为什么？(3).能铺满地面的正多边形组合是（）Ａ．正三角形和正八边形Ｂ．正五边形和正十边形Ｃ．正方形和正八边形Ｄ．正六边形和正八边形解析:(1)由于正多边形的每一个内角都相等，正多边形若能铺满平面，则必须满足若干个内角和等于360°，这是能铺满平面的关键.假定有正n边形，则此正n边形的每个内角都等于nn180)2(，如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此有knn180)2(=360°此式可化为k=22nn=24)2(2nn,即k=2+24n.因为k为正整数，所以n只能为3，4，6.因此用同一种正多边形能铺满平面只有三种可能，即用正三角形、正方形、正六边形均能铺满平面.当n=3时，k=6；当n=4时，k=4；当n=6时，k=3；所以用3个正六边形，4个正方形，6个正三角形才能铺满平面.(2)设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正六边形的角，那么，应有m60°+n120°=360°即26mn这个方程的正整数解为:.1,4nm或.2,2nm所以每个顶点处用4个正三角形和1个正六边形，或2个正三角形和2个正六边形地砖才能铺满平面.(3)在四个选项中,两个多边形的内角能组合成360有B和C,画图验证可知,能铺满地面的只有C.点评:围在同一个点的几个内角和是360是能进行平面镶嵌的必要条件,而非充分条件,这是特别需要注意的问题.