弹性力学简明教程第四版徐芝纶第五章模板

例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节应力函数差分解的实例第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法习题的提示和答案教学参考资料第七节位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。§5-1差分公式的推导第五章用差分法和变分法解平面问题对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法第五章用差分法和变分法解平面问题差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。)(xf21,fffxo21ff3f1x2x3x)(xf差分法第五章用差分法和变分法解平面问题差分法的内容是：;d,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，第五章用差分法和变分法解平面问题导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x、y轴。网格交点称为结点，h称为步长。第五章用差分法和变分法解平面问题应用泰勒级数公式将在点展开，)(xfox).()()(!21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)第五章用差分法和变分法解平面问题1、抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用于结点1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x1030,,xxhxxh。022200)(2)(3xfhxfhff抛物线差分公式结点3：结点1：第五章用差分法和变分法解平面问题01320130221()(),2()1()(2)fffxhbffffxh。抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，第五章用差分法和变分法解平面问题应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。)(3xo抛物线差分公式第五章用差分法和变分法解平面问题2、线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为。)(2xo,)(001xfhff0101()(),()fffcxh线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：第五章用差分法和变分法解平面问题对结点3，得：式(d)称为向后差分公式。,)(003xfhff)(),(1)(300dffhxf线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。第五章用差分法和变分法解平面问题稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和边界条件：（在A中）,(a)（在上）,(b)（在上）.(c),02T,)(bsqnT,bsTT例11S2S第五章用差分法和变分法解平面问题稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。1S2S第五章用差分法和变分法解平面问题现在我们将式(a)、(b)、(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式，第五章用差分法和变分法解平面问题（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知，则0)(02T;0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d)第五章用差分法和变分法解平面问题由于所以得这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。,2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)第五章用差分法和变分法解平面问题例2稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a、b的稳定温度值。ab40353025322224222017第五章用差分法和变分法解平面问题解：对a、b列出方程如下：解出。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.第五章用差分法和变分法解平面问题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出三阶导数的差分公式。yxf23思考题第五章用差分法和变分法解平面问题对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2应力函数的差分解Φ)()(.)(,)()2()()(;0)1(4bSSflτmσfmτlσaAΦσysxyyxsyxxΦ按求解Φ第五章用差分法和变分法解平面问题（3）求出后，由下式求应力（假设无体力）:)(.,,22222cyxΦτxΦσyΦσxyyxΦ按求解Φ第五章用差分法和变分法解平面问题)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(867503104220202022020220dΦΦΦΦhyxΦτΦΦΦhxΦσΦΦΦhyΦσxyyx。差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，差分法求解：第五章用差分法和变分法解平面问题0)(04Φ)(2)(820876543210ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ.0)(1211109ΦΦΦΦiΦ相容方程(e)化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，第五章用差分法和变分法解平面问题对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。为了求虚结点的值，需要求出边界点的、值。xΦ相容方程ΦΦyΦ第五章用差分法和变分法解平面问题3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、值。xΦΦyΦ边界条件第五章用差分法和变分法解平面问题⑴应力边界条件用表示取出坐标的正方向作为边界线s的正向（图中为顺时针向），当移动时，为正，而为负，∴外法线的方向余弦为dsdxdyΦ.sin,cosdsdxαmdsdyαl边界条件第五章用差分法和变分法解平面问题,)(dd)(dd222xfyxΦsxyΦsy.)(dd)(dd222yfyxΦsyxΦsx,)(ddxfyΦs(f).)(ddyfxΦs边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得第五章用差分法和变分法解平面问题)(.)()(,)()(gdsfxΦxΦdsfyΦyΦBAABBAAByx边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形式。再将式(f)对s积分，从固定的基点A到边界任一点B，得第五章用差分法和变分法解平面问题通过分部积分从A到B积分，得yyΦxxΦΦddd.BΦ,d)d(duvuvvuAAyΦyyxΦxxΦΦABABAB))(())((.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB边界条件(h)⑵由全微分求边界点的第五章用差分法和变分法解平面问题⑶∵A为定点，、和、、均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，∴可取故边界结点的和导数值，由式(g)、(h)简化为Ax,0])(,)(,[AAyΦxΦΦA)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyyΦsfxΦsfyΦBAyBAxBAyBBAxBBBB边界条件ΦAyAΦAxΦ)(AyΦ)(第五章用差分法和变分法解平面问题式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距，图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求边界条件,BΦBxΦ)(.)(ByΦ和第五章用差分法和变分法解平面问题⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的值;由式(i)的前两式，可求出边界点的、值，然后再求出边界外一行虚结点的值。边界条件BΦBxΦ)(ByΦ)(Φ第五章用差分法和变分法解平面问题（1）在边界上选定基点A，令，然后计算边界上各结点的、、；0)()(AAyΦxΦΦAxΦΦyΦxΦyΦΦ求解步骤（2）由边界结点的、值，求出边界外一行虚结点的值；4.应力函数差分解的步骤第五章用差分法和变分法解平面问题（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的值；ΦΦ求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的值；第五章用差分法和变分法解平面问题思考题1、将应力函数看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的值与从A（基点）到B面力的合力距有关，的一阶导数值与A到B的面力的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与曲面的曲率、扭率有关。ΦΦΦΦ第五章用差分法和变分法解平面问题§5－3应力函数差分解的实例q问题此题无函数式解答。应用差分法求解。正方形深梁,上边受均布荷载，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。第五章用差分法和变分法解平面问题1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。,0)()(AAyΦxΦΦA取网格如图。第五章用差分法和变分法解平面问题首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。按照物理意义，求出边界点上的和其导数值（如书中所示）：Φ第五章用差分法和变分法解平面问题─AB间y向面力主矢量号，─AB间x向面力主矢量，─AB间面力对B点力矩，BAxBBAyBsfyΦsfxΦd)(d)(BAxsfyyΦBBd)(BAysfxxBd)(注意符号为正.第五章用差分法和变分法解平面问题0)(04ΦiΦΦΦΦ5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘出分布图。4.求出边界外一行虚结点的值。3.对每一内点列差分方程，求出。2.由边界点的导数值，求出边界外一行虚结点的值。第五章用差分法和变分法解平面问题比较：材料力学解─AM上为直线分布，弹性力学解─AM上为曲线分布，由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。;75.0,75.0qminσqmaxσxx.24.0,84.1qminσqmaxσxx比较xσxσ第五章用差分法和变分法解平面问题（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。（2）差分法简便易行，且总能求出解答。（3）差分法可配合材料力学、结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状态。差分法优点：差分法评价第五章用差分法和变分法解平面问题（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。（2）差分法比较适用于平面问题或二维问题。（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如的误差为，则应力的误差为。)(3xo)(xo缺点：Φ差分法评价第五章用差分法和变分法解平面问题思考题：1.试用线性向前或向后差分公式，导出的差分方程。0)(02Ta（Z向厚度）1AyB2FFFxaaa2.用差分法计算图中A点的应力分量。第五章用差分法和变分法解平面问题§5－4弹性体的形变势能外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。第五章用差分法和变分法解平面问题应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并