三角函数与二次函数综合专题(含解析)

试卷第1页，总4页三角函数与二次函数综合卷21．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=33，CD=23.（1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长.DCBA3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝.（1）求小岛两端A、B的距离；（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.EABFDC4．如图，在△ABC中，90ACB，ACBC，点P是△ABC内一点，且135APBAPC．试卷第2页，总4页ABCP（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tanPCB的值．5．如图，在梯形ABCD中，90BA，AB25，点E在AB上，45AED，6DE,7CE.（1）求AE的长；（2）求BCEsin的值．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数xky在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若4BODS，(1)求反比例函数解析式；(2)求C点坐标．8．如图,在△ABC中，BD⊥AC于点D，,,并且.求的长.22AB6BD12ABDCBDAC试卷第3页，总4页9．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）（1）求抛物线的关系式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离.10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：（1）这个二次函数关系式，（2）求图象与x轴的另一个交点，（3）看图回答，当x取何值时y﹤0.（12分）11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.（1）求△AOC的面积；（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；DABC试卷第4页，总4页（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总9页参考答案1．①③④【解析】试题分析：∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BCE，∴ECEFBEAF，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴ECEFAEAF，又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF∽△ECF，∴∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，则AE=DH，在Rt△AEF和Rt△HEF中，EHAEEFEF，∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），∴AF=FH，同理可得△BCE≌△HCE，∴BC=CH，∴AF+BC=CF，故②错误；∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；若23CDBC，则tan∠BCE=323222121CDBCCDBCABBCBEBC，∴∠BEC=60°，∴∠BCE=30°∴∠DCF=∠ECF=30°，本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总9页又∵∠D=∠CEF,CF=CF∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形2．（1）1；（2）13.【解析】试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF=22，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．试题解析：（1）如图，作DEBC于点E.∵在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=23，∴CE3,DE3.∵BC=33，∴BEBCCE3333.∴DEBE3.∴在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45º.∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.∴tan∠ABD=1.（2）如图，作AFBD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF=45º,AB=1，∴2BFAF2.∵在Rt△BDE中，DEBE3，∴BD32.∴DFBDBF3252222.∴在Rt△AFD中，22ADDFAF13.本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总9页ABCDEF考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．3．(1)16.7（海里）．(2)725．【解析】试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，∴cos∠D=35DECD，∴CE=40（海里），CD=50（海里）．∵B点是CD的中点，∴BE=12CD=25（海里）∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600．解得x=7．∴sin∠BCF=725BFBC．考点:解直角三角形的应用．4．（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，又在△APB中，∠APB=135º，∴∠PBA+∠PAB=45º，∴∠PAC=∠PBA，又∠APB=∠APC，本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总9页∴△CPA∽△APB.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴21ABCA,又∵△CPA∽△APB，∴21ABCAPBPAPACP，令CP=k，则PA=2k，PB=2k，又在△BCP中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，∴2tanPCPBPCB考点：1.等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义.5．（1）32AE；（2）22sin7BCE．【解析】试题分析：（1）在DAERt中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE；（2）在BCERt中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sinBCE的值．试题解析：（1）在DAERt中，90A,45AED,6DE∵DEAEAEDcos∴AEDDEAEcos=45cos6=23；（2）∵AEABBE∴222325BE在BCERt中，7EC,CEBEBCEsin=722．考点：解直角三角形．6．（1）254；（2）524.【解析】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=25，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总9页∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=23，AD=4，∴AB=6sinADB∴BD=2225ABAD，∴BC=BD+DC=254（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=12BC=52，∴DE=CE-CD=52，∴tan∠DAE=524DEAD．考点:解直角三角形.7．（1）xy8；（2）（2，4）．【解析】试题分析：(1)由4BODS，且OB=4，可求BD的长，因此D点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C作CE⊥OB于点E．在AOBRt中，利用锐角三角函数可求出CE和OE的长，从而求出C点坐标．试题解析：（1）设D（x，y），则有OB=x，BD=y．由4BODS，得42BDOB，42xy，xy=8．由xky可得，k=xy，∴k=8，∴xy8（2）过点C作CE⊥OB于点E．本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总9页在AOBRt中，90ABO，4OB，8AB，∴tan∠AOB2BOAB，∴2EOCE，CE=2EO，设C点坐标为（a，2a），把点C（a，2a）代入xy8中，得822a，解得2a，∵点C在第一象限，∴a0，取a=2．∴C点坐标为（2，4）．考点:反比例函数综合题．8．42.【解析】试题分析：在Rt△ABD中，tan∠ABD=33ADBD,即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长.试题解析：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=22，BD=6∴tan∠ABD=33ADBD,∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=12∠CBD∴∠CBD=60°，∠ABC=90°本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第7页，总9页在Rt△ABD中，42cosABACA考点:解直角三角形．9．（1）y=（x-5）2＋5（0≤x≤10）.（2