环的特征与素域

§3.6环的特征与素域(3.6ExpansionofRing)当我们在研究环和域的性质时,特征数是其一个重要性质.特征数不同的环和域在结构上有很大的不同.本节首先介绍环和域的特征数,然后介绍素域及其性质和判别.3.6.1环的特征数Def:设(R,+,·)是一个环,若存在自然数n,对a∈R,有na=0,则称具有这种性质的最小自然数为R的特征数.若这种n不存在,则称R的特征数为0.易知,若R有单位元e,则其特征数n是使ne=0的最小自然数.例1:Z/n的特征数是n,而Z的特征数是0.例2:域的特征数只能为0或素数p.Def:设F是域,则由F的单位元e生成的F的最小子域P称为素域.命题:设F是域,P是F的素域,则当F的特征数为p=0时,P有理数域Q;当F的特征数p≠0时,PZ/p.证明:考虑映射:Z→F,(n)=ne,n∈Z,则是环的同态,即Z~F.若F的特征数是p=0,则P包含一个与Z同构的子环(Z),从而P与Z的分式域Q同构,即PQ.若F的特征数为p≠0,则p是一个素数(例3.9.4),从而P包含一个与Z/p同构的子域,故PZ/p.这样,我们得到任一域的构造:设P是F的素域,∈F,若是P上的超越元包含在P关于的超越扩张中;是代数元包含在P关于的代数扩张中.从而,F可以由P经一系列的超越扩张或代数扩张得到.3.9.3域F上的多项式的根,分裂域(RootsofPolynomialonFieldF,PartitionField)Def:设F是域,f(x)∈F[x],degf(x)=n,a∈F,若(x-a)k|f(x),(x-a)k+1f(x)则称a是f(x)的k重根.Th2:对F[x]中的每一个次数1的多项式f(x),存在域F的扩域K,使f(x)在K中至少有一个根.证明:设f1(x)是f(x)的一个次数1的不可约因子,则K=F[x]/f1(x)是F的扩域,且对K中的=x+f1(x),有f1()==0,从而是f1(x)的根,也是f(x)的根.)(1xf将证明中的推导继续做下去,如果f(x)作为K[x]中的多项式仍有次数1的不可约因子,我们可将K再进行扩张.如此下去,经有限次扩张后必得F的一个扩域E,使f(x)在E[x]中可以分解为一次因子的积:f(x)=a0(x-a1)(x-a2)…(x-an)这样,a1,a2,…an便是f(x)的n个根,其中degf(x)=n,于是我们有推论:对F[x]中的任何次数为n(n≥1)的多项式f(x),必有F的一个扩域E,使f(x)在E中恰有n个根(等价于代数基本定理).Def:设f(x)∈F[x],degf(x)=n1,E是F的一个扩域,且满足1°f(x)在E中恰好有n个根a1,a2,…,an(重根按重数计);2°E是包含F及a1,a2,…,an的最小扩域(或F添加a1,a2,…,an得到).则称E为f(x)的在F上的分裂域(splittingfield)或根域(rootfield).进一步可以证明:在同构的意义下,f(x)的分裂域是唯一的.例4:设R是实数域,则复数域C是x2+1∈F[x]的分裂域.对有理数域Q,x2-3∈Q[x],但实数域R不是它的分裂域,而是.},|3{]3[QbabaQ§3.10有限域(3.10LimitField)Def:如果域F的元素个数是有限的,|F|=n,则称F为有限域,也称Galois域,记作F=GF(n).有限域在计算机科学,通讯理论和组合理论等方面有很多应用.由于它的元素个数有限,因而它的结构比较清楚.本节讨论有限域的结构,得到有限域的一些常用结果.命题1:有限域的特征数为素数p.证明:从例3.9.4知,域F的特征数只能为0或素数p,但F为有限域,故其特征数不能为0,从而是素数p.命题2:设F是特征数为p≠0的域,则:F→F,(a)=ap是单同态.证明:先证是同态,即保运算:(a+b)=(a)+(b),(ab)=(a)(b),由于F中乘法的可换性,a,b∈F,(a+b)p=注意到,当k小于p时,(p,k!)=1,(p,(p-k)!)=1,从而p是的因子，故,从而(a+b)p=ap+bp.kkkpkppppbbacbaca......11)!(!!kpkpckpkpc0kkpkpbac∴(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)(ab)=(ab)p=apbp=(a)(b)从而是同态．设(a)=0,则(a)=ap=0,由于域中没有零因子,故a=0,是单射．故:F→F,(a)=ap是单同态.Th1:设F是任一域,G是F的非零元素乘法群的一个有限子群,则G是循环群.证明:设|G|=q,m是Ｇ中元素阶的最大值,只需证m=q即可.设O(a)=m,任取b∈G,设O(b)=n,则n是m的因子.事实上,设d=(m,n),若d≠n,则dn,设其中pi为不同的素数,ki,ji是非负整数.对1ir,有kiji,对r+1it,有kiji,令u=,v=,则故,矛盾.n是m的因子.121121121121...,......trrrrjkkkkjjjjrrrrtmppppnpppppriripp...11trjtjrpp...11(,)1,(),()uvmnmnOaOauvuvmdmnvnumbaOvu))(()(从而,对b∈G,有bm=1是G的恒等元,即F的单位元.从而对多项式xm+1-x∈F[x],在F中至少有q+1个不同的根.故q+1m+1.从而qm.又由于|G|=q,故mq,于是m=q,从而G=a是循环群.推论1:设F是有限域GF(n),则F*,·是n-1阶循环群.因此,若F*=a,则F={0,a,a2,…,an-1=1},称a为F的n次本原元.a在Zn上的最小多项式称为Zn上的n次本原多项式.推论2:设F是有限域GF(n),则F是xn-x∈P[x]的分裂域,其中P是F的素域.Th2:设F=GF(n),其特征数为p(素数),则存在自然数m,使n=pm.证明:设F的特征数为p,故其素域PZ/p由p个元素组成.又F有限,故F可由P经有限次代数扩张得到.F=P[u1][u2]…[uk],其中ui+1是P[u1][u2]…[ui]的代数元,设其极小多项式的次数为mi+1,0ik-1.令m=m1m2…mk,则F的元素个数为n=pm.由Th2可知,有限域中元素个数n一定是某素数的幂,反之是否成立?Th3:设p是素数,m为自然数,令n=pm,则一定存在有限域F=GF(n)Th4:若有限域F1,F2具有相同的元素个数,则F1F2.End