线性代数考试题及答案解析

WORD格式整理专业技术参考资料2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。2、闭卷考试。题号一二三四五总分分数评阅人:_____________总分人：______________一、单项选择题。(每小题3分,共24分)【】1.行列式3111131111311113(A)0(B)1(C)2(D)3【】2.设A为3阶方阵，数2，3A，则A(A)24(B)24(C)6(D)6【】3.已知,,BA为n阶方阵，则下列式子一定正确的是(A)BAAB(B)2222B)(ABABA(C)BAAB(D)22))((BABABA【】4.设A为3阶方阵,0aA，则A(A)a（B)2a(C)3a(D)4a【】5.设矩阵A与B等价，则有(A))()(BRAR(B))()(BRAR得分__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密封线内答题无效WORD格式整理专业技术参考资料(C))()(BRAR(D)不能确定)(AR和)(BR的大小【】6.设n元齐次线性方程组0Ax的系数矩阵A的秩为r，则0Ax有非零解的充分必要条件是(A)nr(B)nr(C)nr(D)nr【】7.向量组)2(,,,21maaam线性相关的充分必要条件是(A)maaa,,,21中至少有一个零向量(B)maaa,,,21中至少有两个向量成比例(C)maaa,,,21中每个向量都能由其余1m个向量线性表示(D)maaa,,,21中至少有一个向量可由其余1m个向量线性表示【】8.n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(A)nAR)((B)A有n个互不相同的特征值(C)A有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分)1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,1，它们的余子式分别为2,1,1，则D。2.设矩阵方程12640110X，则X。3.设x是非齐次线性方程组bAx的一个特解，21,为对应齐次线性方程组0Ax的基础解系，则非齐次线性方程组bAx的通解为.4.设nm矩阵A的秩rAR)(，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的最大无关组0S的秩0sR。5.设是方阵A的特征值，则是2A的特征值得分WORD格式整理专业技术参考资料三、计算题(每小题8分,共40分).1．计算行列式2431101231215201。2.已知矩阵814312201A，求其逆矩阵1A。得分WORD格式整理专业技术参考资料3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量且54321，432132，求该方程组的通解。4.求矩阵2112A的特征值和特征向量。WORD格式整理专业技术参考资料5.用配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准型。四、综合体(每小题8分,共16分)1.解下列非齐次线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx得分WORD格式整理专业技术参考资料2.已知向量组1613,132,321321aaa求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足022EAA，证明A及EA2都可逆，并求1A及1)2(EA。一、单项选择题。(每小题3分,共24分1A2B3C4B5C6C7D8C得分WORD格式整理专业技术参考资料二、填空题。(每小题3分,共15分)1.42.64123.),(212211Rccccx4.rn5.2三、计算题(每小题8分,共40分).1.解：2431101231215201=72301141023205201………………（2分）=40100020500114105201………………（2分）=000020500114105201………………（2分）=0………………（2分）2.已知矩阵814312201A，求其逆矩阵1A。解：100814010312001201),(EA………………（2分）1161001040102211001~r………………（4分）则11610422111A………………（2分）WORD格式整理专业技术参考资料3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量且54321，432132，求该方程组的通解。解：由已知可得：对应的齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为134，因此齐次线性方程组0Ax的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分）令)(2321则022)](2[321321bbbAAAAA所以0)6,5,4,3(T为齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。………（3分）由此可得非齐次线性方程组bAx的通解为：)(54326543Rkkkx………………（2分）4.求矩阵2112A的特征值和特征向量。解：A的特征多项式为：)3)(1(2112EA所以A的特征值为3,121。………………（4分）（1）当11时，对应的特征向量满足00111121xx，解得：21xx则11对应的特征向量可取111p………………（2分）（2）当31时，对应的特征向量满足WORD格式整理专业技术参考资料00111121xx，解得：21xx则31对应的特征向量可取1121p………………（2分）5.用配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准型。解：32232231212165222xxxxxxxxxf322322232144)(xxxxxxx2322321)2()(xxxxx………………（4分）令3332232112xyxxyxxxy则把f化成标准型得：2221yyf…………（4分）四．综合题（每小题8分,共16分)1.解下列非齐次线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵B作初等行变换111122122411112B000000100010112~r………………（5分）由上式可写出原方程组的通解为：),(00100110002121214321Rccccxxxx………………（3分）2.已知向量组1613,132,321321aaaWORD格式整理专业技术参考资料求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。解：1613132321A000510701~r………………（2分）则2AR，………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知21,aa为向量组的一个最大无关组。………………（2分）且21357aaa………………（2分）五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足022EAA，证明A及EA2都可逆，并求1A及1)2(EA。证明：（1）由已知可得：EEAAEEAA)](21[2)(，知A可逆，)(211EAA………………（2分）（2）由已知可得EEAEAEAA4)3)(2(62,EAEEA)]3(41)[2(知EA2可逆，)3(41)2(1AEEA………………（3分）