等腰三角形(讲义--学生版)

113．3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质基础题知识点1等边对等角1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于()A．30°B．75°C．150°D．125°2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于()A．30°B．40°C．75°D．120°3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．4．等腰直角三角形的底角的度数为________．5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2三线合一7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线28．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．中档题13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°314．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．15．(云南中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．16．(贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是________．21cnjy.com17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE＝PF.21·cn·jy·com419．(十堰中考)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.20．已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．综合题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.21教育网(1)试求∠DAE的度数；(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？5参考答案1．B2.D3.804.45°5.80°，20°或50°，50°6.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD.7.C8.C9.90°1.5cm10.35°11.2012.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.∵∠BAC＝50°，∴∠DAE＝12∠BAC＝25°.又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°.13.A14.30°15.18°16.50°17.∠A＝∠E.理由如下：∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE.∵AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.∴∠A＝∠E.18.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线．又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF.19.证明：过点A作AF⊥BC于点F.又∵AB＝AC，∴BF＝CF.∵BD＝CE，∴DF＝EF.∴AD＝AE.20.①当(2x－2)°作为顶角时，即(2x－2)＋2×(3x－5)＝180，解得x＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当(3x－5)°为顶角时，即(3x－5)＋2×(2x－2)＝180，解得x＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x－2＝3x－5，解得x＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°.21.(1)∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵BD＝BA，CE＝CA，∴∠BAD＝(180°－45°)÷2，∠CAE＝45°÷2.∴∠DAE＝90°－∠BAD＋∠CAE＝45°.(2)不变．∠DAE＝90°－180°－∠B2＋12∠ACB＝12(∠B＋∠ACB)＝45°，从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B＋∠ACB也是90°.所以∠DAE的度数不变．21世纪教育网版权所有6第2课时等腰三角形的判定基础题知识点1等腰三角形的判定1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是()A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，则CD等于()A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为()A．3个B．4个C．5个D．6个4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．21教育网78．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5cm，则AB＝________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗？为什么？10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．中档题12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有()21cnjy.comA．6个B．7个C．8个D．9个813．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A．(1)(2)(3)B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．21世纪教育网版权所有15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C＝________．．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．2·1·c·n·j·y(1)求∠ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？918．(襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.21·cn·jy·com(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．综合题19．已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.(1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．【来源：21·世纪·教育·网】10参考答案1．B2.B3.D4.A5.等腰6.等腰7.BD＝CD或∠BAD＝∠CAD8.5cm9.△ADE是等腰三角形．理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴△ADE是等腰三角形．10.证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．11.(1)作线段AB＝a；21·世纪*教育网(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；(3)在MN上取一点C，使CD＝b；(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．12.C13.D．3015.36°或45°16.证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC.又∵ED＝DC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC.∴∠E＝∠C.又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.17.(1)∵∠NAC＝38°，∠NBC＝76°，∠NBC＝∠ACB＋∠NAC，∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°.(2)∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC.∵AB＝30海里，∴BC＝30海里．即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30海里．18.(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等腰三角形．19.(1)△ABC是等腰三角形．(2)如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形成立．2-1-c-n-j-y理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△EBD与Rt△FCD中，DE＝DF，DB＝DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)．∴∠EBD＝∠FCD.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∴∠EBD＋∠DBC＝∠FCD＋∠DCB，即∠EBC＝∠FCB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．21*cnjy*com11