等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用胶州实验中学高一数学组1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.2.等比数列的通项公式：3.a与b的等比中项是11nnmnnmaaqaaqna1nnaqa)(*Nn为非零常数）q(是等比数列（1）（2）任一项an≠0且q≠0（3）q=1时，为常数列na{}naGab请对比等差数列的性质探索等比数列的性质等比数列{an}的一些性质(公比为q)：1.对任意正整数n、m，都有anam＝.2.对任意正整数n(n1)，都有an－1·an＋1＝.qn－ma2n3.对任意正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则4.若m＋n＝2p，则am·an＝.aman＝ap·aq(ap)21215.}nnnaaaaa等比数列｛，则6.对任意常数k(k≠0)，{kan}仍成等比数列，公比为.另外{1an}，{akn}，{|an|}，也都是等比数列，公比依次为.7.{an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}与{anbn}都是等比数列，且公比分别为原公比的q1q、qk、|q|积与商．8．等比数列{an}中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成等比数列；等间隔的k项之和(或积)仍成等比数列．如：a1，a3，a5，……a2n－1……成等比数列．a1，a4，a7……a3n－2……成等比数列．a3，a7，a11……a4n－1……成等比数列．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6……a2n－1＋a2n……成等比数列等等．9．若数列{an}是各项均为正数、公比为q的等比数列，则数列{lgan}是公差为的等差数列．lgqdaann1q不可以是0d可以是0等比中项Gab等差中项baA221211()2......mnpqmnknnknkaaaamnpqmnaaakaaaaaa（其中），其中1211()+22++...+mnpqmnknnknkaaaamnpqmnaaakaaaaaa，其中11nnqaamnmnqaadnaan)1(1dmnaamn)(qaann16.性质（等距抽取）1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质等差数列等比数列仍成等比数列仍成等差数列题型一等比数列性质例1：在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，求a10.练一练：1．在等比数列{an}中，若an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求a3＋a5的值．2.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝__________.5123.在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__________.4.{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________.251或645.在等比数列{an}中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则a15a5＝()A．3B.13C．3或13D．－3或－13C7.已知{an}为等比数列．若an0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．6.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．8.在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．题型二等差、等比数列的综合应用例5.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解方法一设四个数依次为a－d，a，a＋d，(a＋d)2a，由条件得a－d＋(a＋d)2a＝16，a＋(a＋d)＝12.解得a＝4，d＝4，或a＝9，d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16aq＋a＝12，解得a＝8q＝2或a＝3q＝13.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.练一练：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－10000C课堂训练2．一直角三角形的三边边长成等比数列，则()A．三边边长之比为3∶4∶5B．三边边长之比为1∶3∶3C．较小锐角正弦值为5－12D．较大锐角正弦值为5－12C3．在等比数列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3等于()A．4B．8C．－4或4D．－8或8C4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为()A．13B．3C．±13D．±3B5．在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于()A．48B．72C．144D．192D且a1，12a3，2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－226.已知：在等比数列{an}中，各项都是正数，C7．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．81．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正确率．如用等比数列的性质：若k＋l＝m＋n，则ak·al＝am·an可以解决很多相关的问题．3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断用好定义与通项公式．课堂小结