2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题(完整版)凯程首发

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第1页共13页2016年数学三考研真题（完整版）凯程首发下面凯程老师把2016年的真题答案全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发，转载注明出处。一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设函数()yfx在(,)内连续，其导数如图所示，则（）（A）函数有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点（B）函数有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点（C）函数有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点（D）函数有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点【答案】（B）xy0【解析】【解析】由图像易知选B2、已知函数(,)xefxyxy，则（A）''0xyff（B）''0xyff（C）''xyfff（D）''xyfff【答案】（D）【解析】2(1)'xxexyfxy2'xyefxy，所以''xyfff（3）设(i,,)iiDTxydxdy3123，其中(,),Dxyxy10101，(,),,(,),DxyxyxDxyxxy223010011，则凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第2页共13页（A）TTT123（B）TTT312（C）TTT231（D）TTT213【答案】B【解析】由积分区域的性质易知选B.（4）级数为sin()nnknn1111，（K为常数）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与K有关【答案】A【解析】由题目可得，sin()sin()sin()()nnnnnnknknknnnnnnnn1111111111因为sin()()()nknnnnnnnnnn111111，由正项级数的比较判别法得，该级数绝对收敛。（5）设,AB是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵,P使得1PAPB，则凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第3页共13页111111111111111111(1)()()~,A(2)()~(3)()~,TTTTTTTTPAPBPAPBABPAPBPAPBABBPAAPPAPPAPBBAABBD故（）不选；，故（）不选；故（）不选；此外，在（C）中，对于111()TTPAAPPAPPAP，若1=PAPB，则1()TTTTPAPB，而1TPAP未必等于TB，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型222123123122313(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正负惯性指数分别为1,2，则（）（A）1a（B）2a（C）21a（D）1a或2a【答案】（C）【解析】考虑特殊值法，当0a时，123122313(,,)222fxxxxxxxxx，其矩阵为011101110，由此计算出特征值为2,1,1，满足题目已知条件，故0a成立，因此（C）为正确选项。7、设,AB为随机事件，0()1,0()1,PAPB若()1PAB则下面正确的是（）（A）()1PBA（B）()0PAB（C）()1PAB（D）()1PBA【答案】（A）【解析】根据条件得()()PABPB()()1()()1()1()1()PABPABPABPBAPAPAPA8、设随机变量,XY独立，且(1,2),(1,4)XNY，则()DXY为凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第4页共13页（A）6（B）8（C）14（D）15【答案】（C）【解析】因为,XY独立，则22222()()()()DXYEXYEXYEXEYEXEY222()()()14DXEXDYEYEXEY二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)已知函数()fx满足()sinlimxxfxxe3012121，则lim()____xfx0【答案】6【解析】因为()sin()sin()()limlimlimlimxxxxxfxxfxxfxxfxexx3000012121221333所以lim()xfx06(10)极限limsinsinsin____xnnnnnn201122．【答案】sincos11【解析】limsinsinsinlimsinsinsincosnxxiniinxxdxnnnnnnn1200011121211(11)设函数(,)fuv可微，(,)zzxy有方程()(,)xzyxfxzy221确定，则,____dz01．【答案】,dzdxdy012【解析】()(,)xxyxfxzy221两边分别关于,xy求导得()(,)(,)()()((,)()(,))xxyyzxzxfxzyxfxzyzxzyxfxzyzfxzy2121212112，将,,xyz011代入得，,dzdxdy012凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第5页共13页(12)（13）行列式1000100014321____________.【答案】432234【解析】4143210010100010=01+4110++2+3+4.00132+101432+1（-）14、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为【答案】29【解析】221331112()23339PACC三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题满分10分）求极限410limcos22sinxxxxx【解析】410limcos22sinxxxxx4cos22sin10limxxxxxe24434442121()24!3!0limxxxxxxxxeo13e16、（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数()QQp，需求弹性(0)120pp，p为单价（万元）(1)求需求函数的表达式凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第6页共13页(2)求100p万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析】（1）由弹性的计算公式得pdQQdp可知pdQQdp120pp分离变量可知120dQdpQp两边同时积分可得lnln(120)QpC解得(120)QCp由最大需求量为1200可知(0)1200Q，解得10C故10(120)120010Qpp（2）收益(120010)RQpPP边际收益：(120020)(10)20012000dRdRdpppdQdpdQ已知1008000pdRdQ经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元.（17）（本题满分10分）设函数,01022xdtxtxf求xf'，并求xf的最小值。【解析】当11x时，313423122022xxdtxtdttxxfxx当1x时，3121022xdttxxf凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第7页共13页则131103134013134131223232xxxxxxxxxxxf121024012412'22xxxxxxxxxxxf由导数的定义可知，21',00',21'fff故121024012412'22xxxxxxxxxxxf由于xf是偶函数，所以只需求它在，0上的最小值。易知;1,0,0'xxf;,1,0'xxf可知xf的最小值为321f。（18）（本题满分10分）设函数xf连续，且满足100xxxedttftxdttxf，求xf【解析】令txu，则xxxduufduufdttxf000代入方程可得1000xxxxedtttfdttfxduuf两边同时求导可得10xxedttfxf由于xf连续，可知dttfx0可导，从而xf也可导。故对上式两边再求导可得凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第8页共13页xexfxf'在(1)式两边令0x可得10f解此微分方程可得223xxeexf（19）（本题满分10分）求幂级数220121nnxnn的收敛域和和函数。【解析】令220()121nnxSxnn两边同时求导得210'()221nnxSxn两边同时求导得2202()21nnSxxx两边积分可得1'()ln1xSxCx由'(0)0S可知，1'()lnln(1)ln(1)1xSxxxx两边再积分可知()(1)ln(1)(1)ln(1)Sxxxxx易知，220()121nnxSxnn的收敛半径为1，且当1,1xx时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1,1]因此，()(1)ln(1)(1)ln(1)Sxxxxx，x[-1,1]（20）（本题满分11分）设矩阵111010,111122aAaaaa，且方程组Ax无凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第9页共13页解，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求方程组TTAAxA的通解【解析】（Ⅰ）由方程组Ax无解，可知()(,)rArA，故这里有0A，1111000111aAaaaa或2a。由于当0a时，()(,)rArA，而当2a时，()(,)rArA。综上，故0a符合题目。（Ⅱ）当0a时，3221222,22222TTAAA，故32211001(,)2222011222220000TTAAA，因此，方程组TTAAxA的通解为011210xk,其中k为任意实数。（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A.（Ⅰ）求99A；（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B，满足2BBA，记100123(,,)B，将123,,分别表示为123,,的线性组合。【解析】（Ⅰ）利用相似对角化。由0EA，可得A的特征值为1230,1,2，故0~12A.凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第10页共13页当10时，由(0)0