高等数学高职

书名：高等数学（下）ISBN：978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件高等数学（下）高职高专ppt课件第九章无穷级数学习目标：理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正项级数和交错级数的审敛法；掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函数用间接展开法展开成幂级数；掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级数的方法。高等数学（下）高职高专ppt课件内容提要无穷级数无穷级数概念和性质周期为2L的函数的傅立叶级数傅立叶级数的复数形式正弦与余弦级数周期延拓傅立叶级数函数的幂级数展开任意项级数幂级数正项级数高等数学（下）高职高专ppt课件第一节无穷级数概念与性质重点：（1）级数及其收敛与发散（2）级数的基本性质（3）级数收敛的必要条件难点:用定义判断级数的敛散性高等数学（下）高职高专ppt课件定义：给定序列1u，2u，3u，…，nu，…，则式子nuuuu321称为无穷级数，简称级数，缩记为1nnu，即nnnuuuuu3211，其中nu叫做级数的一般项（或称通项）。当级数的每一项都是常数时，称级数为常数项级数，简称数项级数。当级数的每一项都是函数时，称级数为函数项级数。一、无穷级数的基本概念高等数学（下）高职高专ppt课件二、数项级数的收敛和发散nnn10310003100310310313.01031S33.010310322S333.0103103103323S例1讨论级数101解：这是以为公比的等比级数，分别取级数的前1项，前2项，…前n项做和：……………………高等数学（下）高职高专ppt课件3333.010310310310332nnS…………………当n时，有313.03333.0limnnS它反映了级数1103nn的无穷多项累加的结果为31，我们把极限值31叫作级数1103nn的“和”。高等数学（下）高职高专ppt课件一般的，对级数1nnu，分别取它的前1项，2项，…，n项，…的和1S，2S，3S，…，nS，…即11uS212uuS……………………12nnSuuu……………………设数列1S，2S，3S，…，nS，…为级数1nnu的部分和数列（简称部分和），这样，就可以把无穷多项求和的问题归结为求相应的部分和数列的极限问题。高等数学（下）高职高专ppt课件定义如果SSnnlim，则称级数1nnu收敛，称极限值S为级数的和，记作nnnnuuuuS211此时称21nnnnSSSSr为级数的余项。如果nnSlim不存在，则称级数1nnu发散，发散的级数没有和。高等数学（下）高职高专ppt课件1)1(11111n1111122334(1)nnnn1ln34ln23ln12lnn3211.判定下列级数的敛散性（1）（2）（3）（4）2)1(321nnnSn2)1(limlimnnSnnn1nn解：（1）级数的部分和为所以级数发散。高等数学（下）高职高专ppt课件11S02S13S04S112nS02nSnnSlim11)1(nn（2）级数的部分和为，，，，……即，所以不存在，所以级数发散。111)1(1nnnn111)111()4131()3121()211(nnnSn1)111(limlimnSnnn1)1(1nnn1（3）因为，所以级数的部分和为而所以级数收敛，其和为。nnnnln)1ln(1ln11lnnnn)1ln()ln)1(ln()3ln4(ln)2ln3(ln)1ln2(lnnnnSn)1ln(limlimnSnnn（4）因为，所以而所以级数发散。)0(a12naqaqaqaqqaSnn1)1(例3讨论等比级数（又称几何级数）的敛散性。解：此级数的部分和为三、无穷级数的性质Svuvunnnnnnn111)(1nnuS1nnCuCS性质1若，C为常数，则。1nnuS1nnv性质2若，，则有性质3一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散性（但收敛级数的和要变）。性质4收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。注意：性质4的逆命题是错误的。11)3)1(2(nnn例4判别级数是否收敛，如果收敛，并求其和。131nn31q213113141311313)1(11nnn11)3)1(2(nnn4541212413123)1(32)3)1(2(111111nnnnnnnnnn解：是的等比级数，收敛并且和为。同理根据级数的性质1，2可知，也收敛，其和为四、级数收敛的必要条件1nnu只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；0limnnu0limnnu0limnnu定理：若级数收敛，则。注：1）2）若不成立，则级数必定发散。我们经常用这个结论来证明级数发散。101.0nnnnnu21001.00110limlim2nnnnu例5判别级数的敛散性。解：所以由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。第二节正项级数重点：正项级数收敛性的两个判别法难点：比较判别法中尺度的选择一、比较审敛法1nnu0nu1nnu1.如果级数的每一项，则称为正项级数1nnv1nnunnvu)3,2,1(n1nnv1nnu1nnu1nnv2.设正项级数和满足：则（1）若级数收敛，也收敛，（2）若级数收敛，也收敛。这个判别法称为正项级数的比较判别法。11312111nnn例1级数叫作调和级数，试判别其敛散性。0xln(1)xx111123111ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)23341ln2lnlnln23nnnn解：当时，有（此不等式可用函数的单调性来证明）所以p11npn(0)p例2讨论级数的敛散性。由比较判别法知1pp1ppnn11pnn11npn1p122331111111111()()()234567891524812481111222ppppppppppppppp解：（1）当时，级数为调和函数，故发散。（2）当时，，因此，发散。（3）当时，将级数改写成：而上式右边是公比为11012p的等比级数，是收敛的，由比较审敛法知，此时p级数是收敛的。综上得：p级数11npn当1p时发散，当1p时收敛。例3用比较判别法判别下列级数的敛散性：（1）1221nnn（2）1)1ln(1nn（3）1354nnnn（4）121nnn解：（1）因为22121nnn，而121nn是12p的p级数，故级数1221nnn是收敛的。（2）当0x时，有)1ln(xx，所以，)1ln(nn，即nn1)1ln(1，而11nn是发散的，故级数1)1ln(1nn发散。（4）因为11122nnnnnn，而级数111nn是发散的故级数121nnn发散。（3）因为而级数是公比为54的等比级数，且收敛的。故级数1354nnnn收敛。125)54(nn25)54()531(54))53(1(54354nnnnnnnnn比较判别法的极限形式：设1nnu和1nnv是两个正项级数，若avunnnlim，Ra，则这两个级数的敛散性相同。11sinnn例1判别级数的敛散性。解：易知11sinnn是正弦级数，因为111sinlimnnn，而11nn发散，故级数11sinnn发散。若1nnu是正弦级数，且puunnn1lim，则：（1）当1p时，级数1nnu收敛（2）当1p时，级数1nnu发散。（3）当1p时，级数1nnu的敛散性须另行判定。二、比值审敛法例5判断下列级数的敛散性（1）1nnna(0a)(2)1!nnnn(3)12nnn解：（1）annananauunnnnnnn1lim1limlim11因为0a，所以当10a时级数收敛，当1a时级数发散。（2）1)1(lim!)!1()1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn所以级数是发散的。（3）12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu所以级数是发散的。第三节任意项级数重点：（1）交错级数审敛法（2）绝对收敛与条件收敛难点：绝对收敛与条件收敛设0nu，（3,2,1n），下列级数：1154321)1(nnnuuuuuu154321)1(nnnuuuuuu称为交错级数，交错级数审敛法：若（1）1nnuu，,3,2,1n（2）0limnnu则交错级数收敛，且和1uS；余项nr的绝对值1nnur。一、交错级数例1判断下列级数的敛散性。（1）11)1(nnn（2）111)1(nnn解：（1）nun1，111nun显然有1nnuu，且0limnnu故级数收敛。（2）nun1，111nun显然有1nnuu，且01limnn，故级数收敛。如果级数1nnu中各项可取任意实数，则称级数1nnu为任意项级数。有如下结论：（1）若级数1nnu收敛，则级数1nnu一定收敛。此时称级数1nnu绝对收敛。（2）若级数1nnu收敛，而级数1nnu发散，则称1nnu条件收敛。（3）若级数1nnu发散，则级数1nnu可能收敛，也可能发散。二、绝对收敛与条件收敛例2证明级数121sin)1(nnnn收敛。证明：因为2211sin)1(nnnn，而级数121nn是2p时的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数121sin)1(nnnn收敛，从而级数121sin)1(nnnn是绝对收敛的。故级数121sin)1(nnnn收敛。例3指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）111)1(nnn（2）111)1(nnnn解：（1）级数111)1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知它收敛。而11111)1(nnnnn是1p的p级数，是发散的，故级数111)1(nnn条件收敛。（2）级数111)1(nnnn的每项取绝对值得级数11nnn，它是23p的p级数，是收敛的，因此级数111)1(nnnn绝对收敛。它本身一定收敛。第四节幂级数重点：（1）幂级数概念及收敛半径、收敛区间（2）幂级数的运算性质难点：利用幂级数的运算性质求幂级数的和形如nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000（1）的级数叫做幂级数。此处0x为常数，,,,,,210naaaa，叫做幂级数的系数。特别地，0x时，幂级数（1）就变为：nnnnnxaxaxaaxa22100（2）