投票规则

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要投票是生活中经常被用到的在一定时间内有效且公平的推选出一定人数的一种决策方法。投票规则的制定与评委人数、参选人数和当选人数都紧密相关，在一定的已知投票条件下，不同的投票规则会产生不同的投票结果。因此，对不同的投票条件制定对应的投票规则显得尤为重要。本文就是对一定投票条件下的投票规则的制定、完善与推广。对于问题一，我们先假设每个评委投赞成票的数目相同，再用概率统计的知识根据下面的式子：1111113927271392828()()(1)nniiinnCCPiCCC算出每个候选人被选中的概率，由111111393927273926282828()(1)nniiinniCCTCCC一次投票后能够选出的人数，当人数小于规定需投出的人数时再进行第二次投票。再用matlab和Excel画出一次或两次投票选出人数和需投的票数的关系。用spss软件分析出投票数与选出人数的函数关系式：320.0090.1961.1171.484Tnnn，用非线性规划求出最优的投票规则：当投票次数为1次并且每位评委投赞成票的数目为18票时最简便省时，此时选出的先进工作者为12人。对于问题二，利用一中的式子，代入18算出具体值：当n1=18时，11111139392727239262828()()(1)nniiinniCCPiCCC=44.94%则一次投票成功的概率P=14.73%当第二次投票成功时①第1次投票每位评委投赞成票数为1~14，第二次评委投赞成票为18，两次候选人选出人数为12人，成功的概率为14.73%②第1次投票每位评委投赞成票数为15，第二次评委投赞成票为17，两次候选人选出人数为11人，成功的概率为11.17%③第1次投票每位评委投赞成票数为16，第二次评委投赞成票为15，两次候选人选出人数为12人，成功的概率为13%④第1次投票每位评委投赞成票数为17，第二次评委投赞成票为12，两次候选人选出人数为10人，成功的概率为23.87%对于问题三，在matlab中，随机输入每位评委投赞成票的数目，第一次选出的人数T如果大于13则报输入错误；如果小于10则进入循环，进行第二次投票；如果恰好在10到13之间则依次投票得出结果。对于问题四，问题五，候选人获赞成票记为1，获反对票或弃权票记为0，构造投票计分矩阵m个候选人，n个评委编程思路：将每位候选人得分累计与2/3n进行比较，大于2/3n时，选出该候选人，若选出候选人数超过k，选出前k名评分高的；若选出的候选人数在4/5k~k人之间，则投票成功；若选出的候选人数少于4/5k人，则对剩下的候选人进行下一轮投票。关键词：概率统计非线性规划投票计分矩阵一、问题重述1.1引言投票制度是指根据投票人的选择以选出结果的方法，多用于授奖、选出行动计划、由电脑程式决定复杂问题的解决方案。它规定了选民表达民意的方式，通常是以“少数服从多数”的理念为基础，票多者为胜。然而，当可供选择的方案多于两个，可能没有一个获得规定的支持票数，采用不同的投票制度便会产生不同的结果，所以，投票制度的选取对选举结果有重要影响。制定一个既能实现评选的公平合理，又能快速评选出当选人的有效的投票规则是十分重要的。1.2问题的提出现有一些常见的投票规则：（1）采用无记名方式，每位评委对每个候选人投票，在赞成、弃权和反对中必须选一个且只能选一个；（2）每个候选人获得赞成的票数必须大于等于评委的三分之二才能当选；（3）如果第一次投票选出的当选人数小于规定人数，需要进行第二次投票、第三次投票…….，直至选出的人数等于规定人数或者相差不大，但不能超过规定人数。先请解决以下问题：1）、某单位要评选10-13名先进工作者，共28为候选人，39位评委。请你设计一个比较公平合理，简单省时的投票规则，包括投票次数、每次投票时美味评委投赞成票的数目等。2）、分析第一问中所提出的规则一次投票成功的可能性的大小；如果该规则有第二次投票，分析两次投票成功的可能性。3）、设计一个仿真实验，验证第一问中提出的投票规则。4）、如规定：美味评委投赞成票的数目可以小于也可以等于但不能超过规定的赞成票数，请设计一个投票规则。5）、将你设计的投票规则推广到以下情形：m个候选人，n个评委，45k≤当选人数≤k二、模型假设与符号说明1.模型的假设（1）k个评委之间的投票是相互独立的（2）每个候选人入选的概率相同（3）选中人数随着投票次数的增加是收敛的，在有限次投票内一定会投票成功2.符号的约定与说明符号符号的意义n1第一次投票每位评委投赞成票数n2第二次投票每位评委投赞成票数P1（i）第一次投票每个候选人获得i票的概率P2（i）第一次投票每个候选人选中的概率T第一次投票选中人数P3（i）第二次投票每个候选人选中的概率T2第二次投票选中人数三、模型建立与求解1.问题分析：要设计公平合理的投票规则，就是要保证每个候选人获得的赞成票数必须大于等于评委数的三分之二，如果第一次投票选出的人数远小于规定人数，需要进行第二次、第三次投票…，直至选出人数等于规定人数或相差不大并且不超过规定人数；要设计简便省时的投票规则，就是要使投票次数少并且评委投票数少才省时，及要进行非线性规划，找到简便省时时的投票次数和评委投票数。问题求解：(1)第一次投票每个评委可投n1票，则每个候选人获得i票的概率为1111113927271392828()()(1)nniiinnCCPiCCC候选人要当选，获得的赞成票数必须大于或等于评委数的三分之二，即26，则每个候选人当选的概率为11111139392727239262828()()(1)nniiinniCCPiCCC则候选人可以选中的人数为111111393927273926282828()(1)nniiinniCCTCCC在matlab中画出第一次投票候选人选中人数与评委投赞成票数的关系如图所示051015202530051015202530评委投赞成票数候选人选中人数投票一次图1第一次投票候选人选中人数与评委投赞成票数对应曲线由图1可以得出候选人选中人数与评委投赞成票数的关系如表1表1第一次投赞成票数和候选人当选人数对应关系第一次投赞成票数1~141516171819202122~2526~28第一次候选人当选人数(取整)0147121722252728用SPSS软件分析投赞成票数和候选人当选人数关系表2投赞成票和候选人选中人数关系ModelSummaryandParameterEstimatesDependentVariable:VAR00001EquationModelSummaryParameterEstimatesRSquareFdf1df2Sig.Constantb1b2b3Cubic.94371.535313.000-1.4841.117-.196.009Exponential.81767.114115.0002.126E-193.177TheindependentvariableisVAR00002.用立方曲线对数据进行拟合，图2立方曲线对数据进行拟合可以看出，当第一次投赞成票数小于18票时，投赞成票数和候选人当选人数关系近似于立方曲线，即320.0090.1961.1171.484Tnnn由表1可知，第一次投票每位评委投赞成票必须小于19票，否则选出的先进工作者数将超过规定的10~13名①当每位评委投赞成票数等于18票时，选出的先进工作者为12人，满足题目要求，故此时一次投票就可以成功。②当每位评委投赞成票数小于18票时，选出的先进工作者远小于10~13名，此时要进行第二次投票。(2)第二次投票：只有第一次评委投赞成票数小于18票时，即第一次投票选出的人数T取0,1,4,7（由表1知），才进行第2次投票第二次投票时，每位评委可投n2票，第一次投票评选出的先进工作者数为T则第二次每个候选人选中的概率为22221139392727339262828()(28)()(1)nnjjjTTnnjTTCCPiTCCC用matlab编程，得出当第一次投票选出人数为T（T取0,1,4,7）时，第二次投票选出人数与评委投赞成票的关系如表3表3第二次投票选出人数与评委投赞成票的关系第二次投第一次投票第一次投票第一次投票第一次投票赞成票数选出人数0人选出人数1人选出人数4人选出人数7人13.41E-278.33E-271.49E-253.88E-2421.43E-193.43E-195.74E-181.38E-1633.32E-157.81E-151.22E-132.66E-1243.55E-128.16E-121.18E-102.32E-0956.93E-101.56E-092.07E-083.64E-0764.58E-081.00E-071.22E-061.89E-0571.42E-063.03E-063.34E-050.0004496282.52E-055.22E-050.000513850.005918690.000288680.000578090.00503890.048646100.00232150.00448520.0341510.27013110.0139140.0258430.16931.069120.0648610.115340.639023.1283130.242620.411161.89016.9596140.745531.1984.475812.066151.91542.90258.632616.809164.17115.927513.78919.719177.785610.32318.62620.7881812.58415.51321.93220.9861917.81420.41723.48212022.41224.0323.929212125.58826.0223.996212227.23826.788242327.84226.975242427.98226.999242527.999272628272728272828在excel中拟合出4组数据的曲线，两次投票051015202530051015202530第二次评委投赞成票数第二次投票选出人数系列1系列2系列3系列4图3第二次投票选出人数与评委投赞成票的关系第二次投票成功，就是要使第一次和第二次投票选中人数在10~13之间表4两次投票成功的情况二次第一次评委投投票选中人数赞成票数（取整）第二次评委投赞成票数1~14（第一次投票选出人数0人）15（第一次投票选出人数1人）16（第一次投票选出人数4人）17（第一次投票选出人数7人）1210151217111812由题目要求可知，要评选出10~13名先进工作者(1)若投票1次成功，从表1可知，当每位评委投赞成票数为18票时，候选人当选人