吉林大学高职高专《高等数学》第03章

第三章导数与微分第一节导数的概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节相关变化率第五节函数的微分1微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2第一节导数的概念一、导数概念的两个引例二、导数的定义三、求导数举例四、导数的几何意义五、函数可导性与连续性的关系3一、导数概念的两个引例(略讲)1.变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动42.切线问题M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M，直线MT就称为曲线C在点M处的切线．5T0xxoxy)(xfyCNM极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx6M两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题7二、导数的定义8其它形式00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx00()xxxxdydfxdxdx或即9运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx)(0tf)(0xf说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.10如果极限0limxyx不存在，就说函数()yfx在点0x处不可导．若函数)(xfy在开区间I内每一点都可导，则称函数)(xfy在开区间I内可导．11若函数)(xfy在开区间I内可导，则对应于I中的每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值)(xf，这样确定的新函数称之为函数)(xfy的导函数，记作)(xf，y，dxdy，或dxxdf)(，即)(xf＝xyx0lim＝xxfxxfx)()(lim0.12函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf，就是导函数)(xf在点0xx处的函数值，即)(0xf＝0|)(xxxf．导数在工程技术中常叫做变化率，xy表示函数)(xfy在区间],[00xxx上的平均变化率，而)(0xf表示函数)(xfy在点0x处的变化率，它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度．13如果极限000()()limxfxxfxx及000()()limxfxxfxx存在，则极限值分别称为函数()fx在点0x处的左导数和右导数，记作0()fx及0()fx，即0000()()()limxfxxfxfxx，0000()()()limxfxxfxfxx．14单侧导数左导数和右导数统称为单侧导数．若函数)(xf在开区间),(ba内可导，且在左端点存在右导数,右端点存在左导数,即)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间],[ba上可导．函数)(xf在点0x的可导的充要条件是函数)(xf在点0x的右导数和左导数都存在且相等，即)(0xf＝)(0xf．1516三、求导数举例由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以下三个步骤：(1)求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数．17000()()lim=lim'102030()lim0.0【例1】求函数（为常数）的导数．解（）求增量：－；（）算比值：；（）取极限：故，这就是说常数的导数等于零．xxxyCCyCCyxyyxCfxxfxxyxCfx183333223300223022202()()()()=33()()()()'()limlim33()()limlim(33())3(【例】求幂函数的导数。【解】xxxxyfxxyfxxfxxxxxxxxxxxyfxxfxfxxxxxxxxxxxxxx321)'3()'一般地，有：xxxxhxhxhsin)sin(lim0例3.求函数的导数.解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos19四、导数的几何意义oxy)(xfyT0x几何意义：)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy20212243'()(3)'6='(2)121212(2)12120.112(2)12121460.【例】求过曲线上点(2,12)的切线和法线方程。【解】切线：，整理得：法线：，整理得：yxfxxxkfyxxyyxxy五、可导与连续的关系证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x定理如果函数)(xf在0x处可导，则函数)(xf在0x处连续．22如果函数在某点不连续，那么函数在该点肯定不可导。注意:该定理的逆定理不成立.★对于分段函数在分段点处的可导性一定要用导数的定义来判断。★2324内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.一些简单的求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(lnx;0;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;2728课堂练习教材P51习题3-13、4、5、第二节函数的求导法则一、导数的四则运算二、复合函数的求导法则三、隐函数的求导法则四、反函数的求导法则五、参数方程所确定的函数的导数29一、导数的四则运算并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu定理3031基本初等函数的求导公式教材P53(1)0)(C（C为常数）（2）1)(xx（为任意实数）（3）aaaxxln)(（4）xxee)(（5）axxaln1)(log（6）xx1)(ln（7）xxcos)(sin（8）xxsin)(cos32(9）xx2sec)(tan（10）xx2csc)(cot．(11)211)(arcsinxx(12)211)(arccosxx(13)211)(arctanxx(14)211)cot(xxarc熟练掌握14个基本公式例.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得33)(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例.求证证:xxxcossin)(tanx2cosxxcos)(sin)(cossinxxx2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx34例.已知解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxyy)(xx)1sincos4(213xxx23(xx)1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx3536【例1】3235.yxx求的导数【例2】2sin.yxx求的导数【例3】2ln6s.yxxxcox求的导数【例4】1.1xyx求的导数教材P53定理如果函数)(ufy在点u可导，函数)(xgu在点x可导，则复合函数)]([xgfy在点x也可导，且)()(})]([{xgufxgf或dxdududydxdy．二、复合函数的求导法则注意:符号]))(([xf表示复合函数))((xf对自变量x求导数，而符号))((xf表示复合函数))((xf对中间变量)(xu求导数3738【例5】2(23).yx求的导数【例6】2ln(3).yx求的导数【例7】2cos3.yx求的导数【例8】321(54).yxx求的导数教材P54【例9】24(sin).yxx求的导数三、隐函数的导数.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?39隐函数求导过程:（1）方程()0Fxy，两边同时对x求导，把()Fxy，中的y看成是x的函数，利用复合函数的求导法则计算；（2）解出y．由于对数具有化积商为和差的性质，在有的求导运算中，可先将函数取自然对数，然后利用隐函数的求导法则求导，这就是所谓的对数求导法(举例说明).4041隐函数求导的步骤:设有二元方程()0Fxy，决定的函数是()yfx,求导步骤如下：(1)对等式()0Fxy，两边同时对x求导，遇见x的表达式，直接求x的导数(2)遇见y,其导数就是y(3)遇见y的表达式()y,其导数就是()yyy(4)从等式中解出y即为所求．42【例10】2225.xy已知由方程决定的隐函数，求其导数【例11】【例12】.xyx求的导数（幂指函数的对数求导法）教材P55sin().yxy已知由方程决定的隐函数，求其导数例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数典型例题选讲43例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即典型例题选讲44例3.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx典型例题选讲451)对幂指函数vuy可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uvlnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:典型例题选讲462)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb典型例题选讲47又如,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)