吉林大学出版社高职高专《高等数学》第02章

第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节函数极限的运算法则第五节两个重要极限第六节函数的连续性和间断点第七节连续函数的性质1第一节数列的极限一、数列二、数列的极限的定义三、数列极限的性质和运算2一、数列设)(nfyn是定义在正整数集上的一个函数,当自变量n依次取1,2,3,…时,其相应的函数值所排成的一列数,,,321yyy…ny,，…称为一个无穷数列,简称数列,也称为整标函数，并记作}{ny或)}({nf.其中数列中的每一个数都称为数列的项,数列}{ny的第n项ny称为数列的一般项或通项.1）数列的概念34对数列}{ny，如果存在两个实数Mm,，使得Mymn（,2,1n…），那么称}{ny为有界数列，其中Mm,分别称为数列}{ny的下界与上界．否则，称}{ny为无界数列．等价定义：如果存在0M，使得,2,1(nMyn…)，那么称}{ny为有界数列，M称为数列}{ny的界．2）有界数列5设数列}{ny，如果1nnyy（,...2,1n），那么称数列}{ny为单调增加数列．反之，如果1nnyy（,...2,1n），那么称数列}{ny为单调减少数列．单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列3）单调数列6二、数列极限的定义对于数列}{ny,如果当n无限增大时,ny趋于某个确定的常数A,那么A叫做数列}{ny的极限,记作Aynnlim或)(nAyn.此时,也称数列}{ny收敛于A.如果数列}{ny的极限不存在,就说数列}{ny是发散的.7例如,11111,,,,,,234n1nxn0()n12nnx0()n1,2,3,,,nnxn)(n1(1)nnx趋势不定收敛发散8(1)nnnxn)(1n无限变大例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n21,4,9,,,n2nxn)(n1(2)nnx趋势不定收敛发散9三、数列极限的性质和运算性质1(极限的唯一性)如果数列}{ny有极限(或收敛),那么它的极限是唯一的.性质2（收敛数列的有界性）如果数列}{ny有极限，那么数列}{ny一定有界．10性质3(夹逼准则)如果数列}{},{},{nnnzyx满足下列条件：(1),...)3,2,1(,nzyxnnn；(2)azxnnnnlimlim，则数列}{ny的极限存在，且aynnlim.性质4单调有界数列必有极限.性质可选讲设数列}{},{nnyx的极限都存在,且Axnnlim,Bynnlim,则(1)BAyxyxnnnnnnnlimlim)(lim;(2)AByxyxnnnnnnnlimlimlim;(3))0(limlimlimBBAyxyxnnnnnnn．11数列极限的四则运算数列极限的四则运算可以推广到有限多个收敛数列的情形.由积的运算可以得到下面两个结论:(1)CCAxCCxnnnn(limlim为常数)；(2)mAxxmmnnmnn()lim()(lim为正整数)12观察下列数列的极限:(1)yn=1＋1/n；(2)yn=(1/3)n-1；(3)yn=3.【典型例题】13【典型例题】14110111101100...(),()...000,km()limlim=,k=m(),kmmmmmnkkkknnnanananaPnxQnbnbnbnbmkaPnxQnb通用极限公式：若其中和都是整数。则：【典型例题】15可选讲典型例题.证明证:利用夹逼准则.nnnnn222121122nn且22limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由16可选讲222334(1)lim(2)21(2)lim(1)1211(3)lim32365(4)lim024nnnnnnnnnnnn例求下列极限：【教材P20】练习：教材P21，习题2-117110111101100...(),()...000,km()limlim=,k=m(),kmmmmmnkkkknnnanananaPnxQnbnbnbnbmkaPnxQnb通用极限公式：若其中和都是整数。则：第二节函数的极限一、函数极限的概念二、函数极限的性质182、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限本节主要内容:函数的极限191）自变量趋于无穷大时函数的极限设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，如果在x的过程中，对应的函数值)(xf无限接近于确定的数值A，那么A叫做函数)(xf当x时的极限．记作Axfx)(lim或)()(xAxf．一、函数极限的概念20教材P22如果把x取正值且无限增大，称为x趋于正无穷大，记作x，而把x取负值且x无限增大，称为x趋于负无穷大，记作x．函数)(xf在这两种极限过程下的极限分别记作Axfx)(lim，Axfx)(lim．Axfx)(lim的充要条件是)(limxfxAxfx)(lim21例1..01limxx解:因此注:如图所示。当x的绝对值无限增大时，函数f(x)的无限趋近于常数0.oxyxy1222）自变量趋于有限值时函数的极限设函数)(xf在点0x的去心邻域内有定义，如果在0xx的过程中，对应的函数值)(xf无限接近于确定的数值A，那么称A是函数)(xf当0xx时的极限，记作Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf．从定义中可以看出,函数)(xf在点0x处是否存在极限与)(xf在点0x处是否有定义无关．23教材P2332lim2.3xx例（+1）如果当0xx（或0xx）时，)(xf无限接近于确定的数值A，那么称A是函数)(xf在0x处的左（或右）极限，记作Axfxx)(lim0（或Axfxx)(lim0）．左极限和右极限统称为单侧极限．Axfxx)(lim0成立的充分必要条件是)(lim0xfxxAxfxx)(lim0242221113f(x)=111f(x)==x+12(x1)11limf(x)=lim21xxxxxxxxx例函数当时的极限。解：当x1时，所以25教材P23典型例题1典型例题2典型例题326二、函数极限的性质（一般性了解）性质1(函数极限的唯一性)如果)(lim0xfxx存在,那么它的极限是唯一的.性质2（局部有界性）如果)(lim0xfxx存在，则函数)(xf在0x的某一去心邻域内有界．27性质3（夹逼准则)如果函数)(),(),(xhxfxg在点0x的某个去心邻域内，满足下列条件：(1))()()(xhxfxg(2)Axhxgxxxx)(lim)(lim00则函数)(xf的极限存在,且Axfxx)(lim0.练习P26习题2-21、2、28第三节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大四、函数极限与无穷小的关系五、无穷小的性质六、无穷小的比较29一、无穷小如果函数)(xf当0xx（或x）时的极限为零，那么称函数为当0xx（或x）时的无穷小量，简称无穷小．注意无穷小是一个变量（或函数），而不是一个定数，所以不能把无穷小和很小的数（例如百万分之一）混为一谈，只有零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为在任何极限过程中，均有00lim,00lim0xxx成立．30二、无穷大如果函数)(xf当0xx（或x）时，对应的函数值的绝对值)(xf无限增大，就称函数)(xf当0xx（或x）时的无穷大量，简称无穷大．如果函数)(xf是当0xx（或x）时的无穷大量，则记作：0lim()(lim())xxxfxfx或同理：0lim()(lim())xxxfxfx或0lim()(lim())xxxfxfx或31注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!32三、无穷小与无穷大定理在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小，反之，如果)(xf为无穷小，且0)(xf，则)(1xf为无穷大．据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.说明:33其中为0xx时的无穷小量.即：(函数极限与无穷小的关系)Axfxx)(lim0Axf)(,四、函数极限与无穷小的关系对自变量的其它极限过程类似。定理Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axf)(，其中为当0xx时的无穷小．34性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质3有限个无穷小的乘积仍是无穷小。五、无穷小的性质0211limsin012lim()0xxxxxx例例235定义.,0lim若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim若若,1lim若~~,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作六、无穷小的比较36常用的等价无穷小如下：当0x时，xx~sin，xx~tan，221~cos1xx，xx~)1ln(，xex~1，xnxn1~11．练习教材P29习题2-337等价无穷小的用途：1、近似计算2、等价代换计算极限00000000000lim()lim()lim()()lim()lim()(2)lim()()lim()lim()lim()()(3)lim(0)()lim()(1)设和，则xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxAgxBfxgxfxgxABfxgxfxgxABfxfxABgxgxB00lim()lim()xxxxCfxCfxCA00lim()lim()nnnxxxxfxfxA38第四节函数极限的运算法则显然有：例求3221lim53xxxx．解3322222lim(1)1lim53lim(53)xxxxxxxxx3222222limlim1lim5limlim3xxxxxxxx3222(lim)1(lim)523xxxx32217210333940【例1】求22lim(32)8xxx．【例2】求31lim(321)2xxx．【例3】求221lim[(3)(1)]3xxx．【例4】求22123lim33xxxx．【例5】求2221lim44xxx．411011101100...()),()...000,km()lim()lim=,k=m(),kmmmmmkkkkxxaxaxaxaPxxQxbxbxbxbmkaPxfxQxb通用的函数极限公式：若f(其中和都是整数。则：42【例6】求2225lim221xxxxx．【例7】求3242251lim032xxxxxx．【例8】求32321lim643xxxxx．【例9】求11110lim1xxxxxeeee．【解】1121102111limlimlim111