万能公式和数列证明答题模板

万能公式答题模板（亦称为Sn法）必备理论：（整体代换）数列{an}中，Sn＝3n2－2n，则S1=3－2=1，Sn-1＝3（n－1）2－2（n－1）=3n2－8n+5【题头】数列{an}中，Sn与an（或Sn与n）的关系式形式，求an的表达式（通项公式）【模板】当n=1时，a1=S1=∴a1=当n≥2时，an=Sn－Sn-1∴an=－（代题头，自身变换成Sn-1）=化简为最简形式（*）（*）部分经常见到的为四种形式【形式一】∴an=关于n的表达式（#）--譬如an=2n-1结论答法一：经检验n=1时，满足an，∴数列{an}的通项公式为（#）结论答法二：经检验n=1时，不满足an，∴数列{an}的通项公式为2n#1n1），（的值，a【形式二A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1∴数列{an}为等差数列，且公差为常数∴an=a1+（n－1）公差【形式二B】∴an+1=常数an--譬如an=2an-1∴数列{an}为等比数列，且公比为常数∴an=a1公比n-1【形式三】∴an=Aan-1+B或者--譬如an=2an-1+3∴（an+常数）=A（an-1+常数）常数为1AB∴数列{an+常数}为等比数列，且公比为A∴an+常数=(a1+常数)An-1∴an=【形式四A】∴an=an-1+f（n）【形式四B】∴an=f（n）an-1譬如an=an-1+n（方法：累和法）譬如an=nan-1（方法：累积法）∴a2－a1=f（2）∴12aa=f（2）a3－a2=f（3）23aa=f（3）a4－a3=f（4）34aa=f（4）…………an－an-1=f（n）1nnaa=f（n）将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得an－a1=f（2）+f（3）+…+f（n）1aan=f（2）f（3）…f（n）∴an=∴an=证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列{an}中，an＝3n2－2n，则a1=3－2=1，an-1＝3（n－1）2－2（n－1）=3n2－8n+5【题头1】数列{an}中，条件A,条件B，条件C，求证：数列{bn}是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明1n，bn+1－bn=常数或证明2n，bn－bn-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A,得到常数，即证明等差（比）数列【模板】自身替换是指，将n换成n+1，或n换成n-1（1）等差数列bn+1－bn=自身代换－代入题头=不动－代入题头=常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=1，求解常数（2）等差数列bn－bn-1=代入题头－自身代换=代入题头－不动=常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=2，求解常数（3）等比数列nnbb1=常数代入题头不动代入题头自身代换，结论（抄题）（4）等比数列1nnbb=常数不动代入题头自身代换代入题头，结论（抄题）【样题】．数列na满足11a，13232nnaann，nabnn，求证：数列{bn}是等比数列【分析】由于出现的为n和n-1，所以采用（4）完成模版证明证明：1nnbb=31-3231-1-11-）（）（nannananannnn，数列{bn}是等比数列温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数【练习1】数列na满足15a，*123nnnaanN，nnnab3-求证：数列{bn}是等比数列【练习2】数列na满足11a，1222nnnaan，求证：数列2nna是等差数列；【题头2】数列{an}中，Sn与an（或Sn与n）的关系式形式，求证：数列{an}是等差数列【模板】万能公式法（也叫作Sn法）当n=1时，a1=S1=∴a1=当n≥2时，an=Sn－Sn-1∴an=－（代题头，自身变换成Sn-1），∴化简（会出现两种情况）【形式A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1∴数列{an}为等差数列，且公差为常数∴an=a1+（n－1）公差【形式二B】∴an+1=常数an--譬如an=2an-1抢分环节∴数列{an}为等比数列，且公比为常数∴an=a1公比n-1【样题】．数列na的前n项和nS，且131nnaS,证明数列na等比数列证明：当n=1时，a1=S1=1311a∴a1=21------(1分)当n≥2时，an=Sn－Sn-1-----(1分)∴an=131na－1311-na∴212111nnnnaaaa-----(2分)∴数列na等比数列-----(1分)且公比为21-∴an=21-（21-）n-1=（21-）n-----(1分)【练习1】数列na的前n项和为nS，11a，正整数n对应的nnSan,,成等差数列.证明2nSn成等比数列【练习2】数列na，nS是它的前n项和，且*142nnSanN，11a（Ⅰ）设*12nnnbaanN，求证：数列nb是等比数列；（Ⅱ）设2nnnac，求证：数列nc是等差数列；【练习3】数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS，求证：数列na是等差数列【练习4】数列na中，15,a*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列．【练习5】设数列{}na的前n项和12nnSaa，且123,1,aaa成等差数列.证明数列{}na是等差数列．并求{}na的通项公式；【练习6】已知数列{}na,na＞0，2nnaa=错误!未找到引用源。,证明数列{}na是等差数列