3.1空间向量及其运算

金陵中学2012-2013学年高二上数学教案13.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学过程：一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题.但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N的力F1，F2，F3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？是否为F1→+F2→+F3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广!二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F1F2F3金陵中学2012-2013学年高二上数学教案2方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a∥b，0∥a．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中(2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a∥b，0∥a．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关.所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.BAOαab金陵中学2012-2013学年高二上数学教案3空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB→＝OA→＋AB→＝a＋b（三角形法则）OC→＝OA→＋OB→＝a＋b（平行四边形法则）BA→＝OA→－OB→＝a－bOP→＝λa(λ∈R)平面向量的线性运算满足下列运算律运算律：⑴加法交换律：a＋b＝b＋a⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)⑶数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaOPaAObBa－bababOABa＋bOBbaCAa＋b金陵中学2012-2013学年高二上数学教案4(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题?结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立.平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.三.数学运用例1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB→＋BA1→;(2)AC→＋CB→＋12AA1→;(3)AA1→－AC→－CB→解：(1)CB→＋BA1→＝CA1→(2)因为M是BB1的中点,所以BM→＝12BB1→，AC→＋CB→＋12AA1→A1B1C1BCAMOABCabca＋ba＋b＋cb＋c金陵中学2012-2013学年高二上数学教案5D/OA/ADEBFCB/又AA1→＝BB1→，所以AC→＋CB→＋12AA1→＝AB→＋BM→＝AM→.(3)AA1→－AC→－CB→＝CA1→－CB→＝BA1→.例2.如图，在长方体OADB-CA’D’B’中，OA＝3,OB＝4,OC＝2,OI＝OJ＝OK＝1,，点E,F分别是DB,D’B’的中点，设OI→＝i,OJ→＝j,OK→＝k,,试用向量i,j,k表示OE→和OF→.解：∵BD→＝OA→＝3OI→＝3i，∴BE→＝12BD→＝32i.又OB→＝4OJ→＝4j,∴OE→＝OB→＋BE→＝32i＋4j.∵EF→＝BB’→＝OC→＝2k，∴OF→＝OE→＋EF→＝32i＋4j＋2k.例3.已知平行六面体ABCD-ABCD.求证：AC→＋AB’→＋AD’→＝2AC’→.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，AB’→＝AB→＋AA’→，AD’→＝AD→＋AA’→，∴AC→＋AB’→＋AD’→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA’→)+(AD→＋AA’→)＝2(AB→＋AD→＋AA’→).又∵AA’→＝CC’→，AD→＝BC→，∴AB→＋AD→＋AA’→＝AB→＋BC→＋CC’→＝AC→＋CC’→＝AC’→，∴AC→＋AB’→＋AD’→＝2AC’→.【课堂练习】已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)AB→＋BC→＋CD→；(2)AB→＋12(BD→＋BC→)；(3)AB→－12(AB→＋AC→)．BCDMGAABCDA’B’C’D’金陵中学2012-2013学年高二上数学教案6四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业金陵中学2012-2013学年高二上数学教案73.1.2共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用．教学过程：一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质．二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分;在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面?能平移到同一平面的向量叫做共面向量问题:空间中两个向量是否共面?空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.那么，空间的任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时，它们之间存在怎样的关系呢？三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使p＝xa＋yb.证明：（必要性）向量a,b不共线，当p与向量a,b共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x,y)，使得p＝xa＋yb．（充分性）对于空间的三个向量p,a,b，其中a,b不共线，如果存在有序实数组(x,y)，使p＝xa＋yb，那么在空间任意取一点M，作MA→＝a,MB→＝b,MA'→＝xa,过点A’作A'P→＝yb,（如图），则MP→＝MA'→＋A'P→＝xa＋yb＝p,，于是点P在平面MAB内，从而MP→,MA→,MB→共面，即向量p与向量a,b共面．这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示．金陵中学2012-2013学年高二上数学教案8四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE．求证：MN∥平面CDE．分析：要证明MN∥平面CDE，只要证明向量NM→可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE→和DC→线性表示．证明：如图，因为M在BD上，且BM＝13BD，所以MB→＝13DB→＝13DA→＋13AB→．同理AN→＝13AD→＋13DE→，又CD→＝BA→＝－13AB→，所以MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝(13DA→＋13AB→)＋BA→＋(13AD→＋13DE→)＝23BA→＋13DE→＝23CD→＋13DE→．又CD→与DE→不共线，根据共面向量定理，可知MN→,CD→,DE→共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．例2．设空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→（其中x＋y＋z＝1），试问：P,A,B,C四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P,A,B,C是否共面，可考察三个共起点的向量AP→，AB→，AC→是否共面．解：由x＋y＋z＝1，可得x＝1－z－y．则OP→＝(1－z－y)OA→＋yOB→＋zOC→＝OA→＋y(OB→－OA→)＋z(OC→－OA→)，所以OP→－OA→＝y(OB→－OA→)＋z(OC→－OA→)，即AP→＝yAB→＋zAC→.由A,B,C三点不共线，可知AB→和AC→不共线，所以AP→，AB→，AC→共面且具有公共起点A．从而P,A,B,C四点共面．思考：如果将x＋y＋z＝1整体代入，由(x＋y＋z)OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→出发，你能得到什么结论？OABCDHFGE金陵中学2012-2013学年高二上数学教案9例3．从□ABCD所在平面外一点O作向量OE→＝kOA→,OF→＝kOB→,OG→＝kOC→,OH→＝kOD→,（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC∥平面EG．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，∵EG→＝OG→－OE→＝kOC→－kOA→＝k(OC→－OA→)＝kAC→＝k(AB→＋AD→)＝k(OB→－OA→＋OD→－OA→)＝OF→－OE→＋OH→－OE→＝EF→＋EH→，∴EG→,EF→,EH→共面且共起点，∴E,F,G,H四点共面．（2）∵EF→＝OF→－OE→＝k(OB→－OA→)＝kAB→，∴EF→∥AB→，∴EF→∥平面AC，同理EG→∥平面AC，又EF→∩EG→＝E，∴平面AC∥平面EG．练习：已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB→＝e1＋e2,AC→＝2e1＋8e2,AD→＝3e1－3e2.求证：A,B,C,D四点共面．五．回顾小结1．共面向量定理的证明；2．共面向量定理的简单运用．六．布置作业金陵中学2012-2013学年高二上数学教案103.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论．教学过程：一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使axe1ye2.二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？三.数学理论空间向量基本定理：如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使p＝xe1＋ye2＋ze3.证明：（存在性）设e1,e2,e3不共面过点O作OA→＝e1,OB→＝e2,OC→＝e3,OP→＝p,，过点P作直线PP’平行于OC，交平面OAB于点P’，在平面OAB内，过点P’作直线P’A’∥OB,P’B∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A’,B’，于是，存在三个实数x,y,z，使OA'→＝xOA→＝xe1，OB'→＝yOB→＝ye2，OC'→＝zOC→＝ze3，∴OP→＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA→＋yOB→＋zOC→＝xe1＋ye2＋ze3．e2e1a金陵中学2012-2013学年高二上数学教案11OA/CMED/B/ADB（惟