必修一1[1].2函数及其表示

第第一一课课时时：：11..22..11函函数数的的概概念念教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。教学难点：函数概念的理解。教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题问题1初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）问题2初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。（Ⅱ）函数感性认识教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集{026}Axx，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集{0845}Bhh，对应关系21305htt（*）。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。例子（2）中数集{19792001}Att，{026}BSS，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。例子（3）中数集{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}AB，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。（III）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作:fAB。（IV)理性认识函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作(),yfxxA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{()}fxxA叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。（2）定义域是自变量x的取值范围；注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x与)Ry=x2(x0)；y=1与y=x0②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x0,而不是Rx。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。(V)区间的概念设a、b是两个实数，且ab，规定：（投影1）（1）满足不等式bxa的实数的x集合叫做闭区间，表示为b,a；（2）满足不等式bxa的实数的x集合叫做开区间，表示为b,a；（3）满足不等式bxa的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为ba，；（4）满足不等式bxa的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为b,a；说明：①对于b,a，b,a，ba，，b,a都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3x7（一般不用）；集合表示法：7x3x；区间表示法：73，；③在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。例题分析：（投影2）例1．已知函数1()32fxxx，（教材第20页例1）（1）求函数的定义域；（2）求2(3),()3ff的值；（3）当a0时，求(),(1)fafa的值。分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式()yfx，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）例2．求下列函数的定义域。（1）1()(12)(1)fxxx；(2)()42fxxx；(3)分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P21例2）(1)y=(x)2;(2)y=xx2;(3)y=33x;(4)y=2x.分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3。课时小结：本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。2、预习作业：（1）预习内容：课本P22—P23；（2）预习提纲：a.函数的表示方法分别有哪几种?c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；第第二二课课时时：：11..22..22函函数数的的表表示示方方法法教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法xxxf211)(教学过程：（Ⅰ）引入问题1.回忆函数的两种定义；2.函数的三要素分别是什么？3．设函数22(2)()2(2)xxfxxx，则(4)f，若0()8fx，则0x=。（II）讲授新课函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,,2,6yxxSrCrSt等。优点：函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。（III）例题分析：例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（{1,2,3,4,5}x个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数()yfx。解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数()yfx表示为5yx，{1,2,3,4,5}x。用列表法可以将函数()yfx表示为笔记本数x12345钱数y510152025图象法略。说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。（IV）课堂练习：课本P27练习1、2。（V）课时小结：本节课我们学习了函数的表示方法。（VI）课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2第5、6、7、8、9题。2、预习作业：（1）预习内容：课本P24-P25；（3）预习提纲：a.什么叫分段函数?分段函数是否为一个函数？b.如何画分段函数的图象？第第三三课课时时：：11..22..22函函数数的的表表示示方方法法教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握分段函数及其简单应用。教学重点：分段函数的理解教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2．如何作出函数yx的图象？（II）讲授新课例1．作出函数yx的图象和1yx的图象，并分别求出函数的值域。注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x0)的信函付邮资为：)100,80x(400)80,60x(320)80,60x(240)40,20x(160)20,0x(80y,画出这个函数的图象。说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。例3．（教材24P例6）例4．作出下列各函数的图象：（1）1(01)()(1)xfxxxx；（2）222(0)()2(0)xxxfxxxx对第（2）小题的函数，试根据a的取值讨论方程()fxa的根的个数问题。练习：1．在函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx中，若()3fx，则x的值为。2．已知1(0)()(0)0(0)xxfxxx，则{[(1)]}fff=。作业：课本P28习题1.2第10、11、12、13题。第第四四课课时时：：11..22..22函函数数的的表表示示方方法法教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；2.使学生了解象、原象的概念；3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。教学重点：映射、一一映射的概念教学难点：映射、一一映射的概念教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1：前面学习的元素与集