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2012年全国各地中考数学压轴题专集答案六、三角形1．（北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．解：（1）补全图形，见图1；∠CDB＝30°（2）猜想：∠CDB＝90°－α证明：如图2，连结AD，PC∵BA＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC∵点D，P在直线BM上，∴PA＝PC，DA＝DC又∵DP为公共边，∴△ADP≌△CDP∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP又∵PA＝PQ，∴PQ＝PC∴∠DCP＝∠PQC，∠DAP＝∠PQC∵∠PQC＋∠DQP＝180°，∴∠DAP＋∠DQP＝180°∴在四边形APQD中，∠ADQ＋∠APQ＝180°∴∠APQ＝2α，∴∠ADQ＝180°－2α∴∠CDB＝12∠ADQ＝90°－α（3）45°＜α＜60°提示：由（2）知∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α∵点P不与点B，M重合，∴∠MAD＜∠PAD＜∠BAD∴α＜180°－2α＜2α，∴45°＜α＜60°2．（北京模拟）已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．（1）求证：PA＝PB；（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PBPC的值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．图1ABCQM(P)图2ABCQPM图1ABCQM(P)D图2ABCQPMD（1）证明：①当点A在射线OM上时，如图1作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB②当点A在MO延长线上时，如图2作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB（2）解：∵S△POB＝3S△PCB，∴点A在射线OM上，如图3∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝12(180°－∠APB)∵∠APB＋∠MON＝180°，∠POB＝12∠MON∴∠POB＝12(180°－∠APB)，∴∠PBC＝∠POB又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC∴PBPC＝S△POBS△PBC＝3（3）解：①当点A在射线OM上时，如图4∵∠APB＋∠MON＝180°，∠MON＝60°∴∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠BPD＝60°∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75°作BE⊥OP于E∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝3，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE＋PE＝3＋1②当点A在MO延长线上时，如图5此时∠AOB＝∠DPB＝120°MTNO图1ABPMTNOEF图2ABPMTNOFE图3ABPMTNOC图4ABPMTNOEDMTNO备用图MTNO备用图∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30°，∴∠PBD＝∠ABO＝15°作BE⊥OP于E，则∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝3，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE－PE＝3－13．（北京模拟）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求BGCG及ACDC的值．解：（1）BE＝2CF，BE⊥CF证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点∴AC＝BC，DC＝EC∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC∵F为线段AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝12AD∴BE＝2CF∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF∵∠BCF＋∠ACF＝90°，∴∠BCF＋∠EBC＝90°即BE⊥CF（2）仍然成立证明：如图2，延长CF到H，使HF＝CF，连接AH、DH∵AF＝DF，∴四边形AHDC为平行四边形∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD∴∠CAH＝∠BCE又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE图5ABPMTNOEDABCDEF图1ABCDEF图2ABCDEF图3GABCDEF图2HABCDEF图1∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE∴BE＝CH＝2CF∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°即BE⊥CF（3）如图3，设BE、CF相交于点O，则∠GOC＝90°作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM则BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC∵AC⊥DE，∠CDE＝45°，∴∠DCA＝45°∵∠DCF＝30°，∴∠ACH＝∠CBE＝15°∴∠OMC＝30°设OG＝x，则CG＝2x，OC＝3x，BM＝CM＝23xOM＝3OC＝3x，MG＝3x－x＝2x∴BG＝BM＋MG＝23x＋2x，BO＝BM＋MO＝23x＋3x∴BGCG＝23x＋2x2x＝3＋1BOOC＝23x＋3x3x＝3＋2过E作BC的垂线，交BC的延长线于N则Rt△BNE∽Rt△BOC，∴BNEN＝BOOC＝3＋2设EN＝t，则CN＝t，CE＝2t，BN＝(3＋2)t，BC＝(3＋2)t－t＝(3＋1)t∴BCCE＝(3＋1)t2t＝6＋22∵AB＝BC，CD＝CE，∴ACDC＝6＋224．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．（1）当点F在射线CA上时①求证：PF＝PE．②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．ACBFPDGEACBPD备用图ABCDEFGOMN图3（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°∴∠1＋∠FPN＝90°∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE②解：∵CP＝2，∴CN＝CM＝1∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x∴CE＝2－x∵CF∥PN，∴CFPN＝CGGN，即x1＝CGCG＋1∴CG＝x1－x∴y＝x1－x＋2－x（0≤x＜1）（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP在Rt△EGP中，EG＝2CP＝22②当点F在AC延长线上时∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4∴CF＝CP＝2，∴FM＝2＋1易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝2＋1∵CF∥PN，∴CFPN＝CGGN，即21＝1－GNGN∴GN＝2－1∴EG＝2－1＋2＋1＝225．（上海模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝45．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．ACBFPGE1DACBMPFGNE15234DACBFPDEMN21GADCBPQ图②EADCBPQ图①ADCBPQ图③G解：（1）过P点作PF∥AC交BC于F∵点P为AB的中点，∴F为BC的中点∴FC＝12BC＝3∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD∴CD＝DF＝12FC＝32（2）当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF∵PE⊥BC，∴BE＝EF由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3②得点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变（3）过点P作PE⊥BC于E，连接AG并延长交BC于H∵AB＝AC，点G为△ABC的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3设AH＝x，则AB＝x2＋32＝x2＋9∵sinB＝45，∴xx2＋9＝45，解得x＝4∴GH＝13x＝43设BP＝t，则BE＝35t，PE＝45t∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝35t由△DGH∽△DPE，得GHPE＝DHDE即4345t＝35t3，解得t＝533，即BP＝5336．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长；（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由．ADCBPQ图②EFADCBPQ图①FADCBPQ图③EGH解：（1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x在Rt△DEC中，DC2＋EC2＝DE2即y2＋(3－x)2＝x2，∴y＝6x－9当D与C重合时，x最小即y＝6x－9＝0，x＝32当E与C重合时，x最大，x＝3∴32≤x≤3（2）①当∠ADF＝90°时，则FD∥BC∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB∴△DEC∽△ABC，∴DEAB＝ECBC∴x5＝3－x3，解得x＝158，即BE的长为158②当∠AFD＝90°时，则∠BFE＝∠DFE＝45°作EG⊥BF于G，则Rt△BEG∽Rt△BAC∴BGBC＝EGAC＝BEAB∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∴BG3＝EG4＝x5，∴BG＝35x，EG＝45x∴FG＝EG＝45x，DF＝BF＝35x＋45x＝75x由Rt△ADF∽Rt△ABC，得ADAB＝DFBC∴4－6x－95＝75x3，即7x＋36x－9－1