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2012年全国各地中考数学压轴题专集答案九、综合型问题124．（四川模拟）如图，已知实数m是方程x2－8x＋16＝0的一个实数根，抛物线y＝－12x2＋bx＋c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM．在y轴左侧的抛物线上是否存在点N，使得∠NOB＝∠AMO．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－8x＋16＝0，得x1＝x2＝4∴m＝4∴A（4，0），C（0，4）将A（4，0）和C（0，4）代入y＝－12x2＋bx＋c得－8＋4b＋c＝0c＝4解得b＝1c＝4∴抛物线的解析系式为y＝－12x2＋x＋4（2）在y＝－12x2＋x＋4中，令y＝0，得－12x2＋x＋4＝0解得x1＝－2，x2＝4，∴B（－2，0），∴AB＝6∴S△ABC＝12AB·CO＝12设AD＝k（0≤k≤6）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴S△ADES△ABC＝(ADAB)2＝(k6)2＝k236，∴S△ADE＝k23同理可知，S△BDF＝(6－k)23S四边形DECF＝S△ABC－S△ADE－S△BD＝12－k23－(6－k)23＝－23k2＋4k＝－23(k－3)2＋6当且仅当k＝3时，S四边形DECF有最大值为6，此时D（1，0）（3）假设存在这样的点N，使得∠NOB＝∠AMOCABOEFxyDCABOEFxyD∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°∴∠AMO＝45°，∴∠NOB＝45°①当点N1在y轴左侧、x轴上方的抛物线上时过点N1作N1H⊥x轴于点H，则tan∠N1OB＝N1HOH∴y－x＝tan45°＝1，∴y＝－x由y＝－xy＝－12x2＋x＋4解得x1＝2＋23y1＝－2－23（舍去），x2＝2－23y2＝23－2∴点N的坐标为N1（2－23，23－2）②当点N2在y轴左侧、x轴下方的抛物线上时同理可得y＝x由y＝xy＝－12x2＋x＋4解得x1＝22y1＝22（舍去），x2＝－22y2＝－22∴点N的坐标为N2（－22，－22）综上，存在满足条件的点N，点N的坐标为N1（2－23，23－2），N2（－22，－22）125．（湖南常德）如图，已知二次函数y＝148(x＋2)(ax＋b)的图象经过点A（－4，3），B（4，4），与x轴交于点C、D（C在D的左侧）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是第二象限抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，若以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出P点的坐标；（3）将AB所在直线沿y轴上下平移，平移后的直线与抛物线交于A′、B′两点．问在x轴上是否存在点Q，使得△A′QB′是以A′B′为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．88．解；（1）∵二次函数y＝148(x＋2)(ax＋b)的图象经过点A（－4，3），B（4，4）∴－124(－4a＋b)＝318(4a＋b)＝4解得：a＝13b＝－20∴二次函数的解析式为y＝148(x＋2)(13x－20)CyBADOx备用图CyBADOxPHCABOxyGMN1N2H即y＝1348x2＋18x－56（2）令y＝148(x＋2)(13x－20)＝0，解得：x1＝－2，x2＝2013∵C在D的左侧，∴C（－2，0）∴AC2＝(－4＋2)2＋32＝13BC2＝(4＋2)2＋42＝52AB2＝(－4－4)2＋(3－4)2＝65∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形且∠ACB是直角若以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似，则PHDH＝ACBC或PHDH＝BCAC设P（m，148(m＋2)(13m－20)），则DH＝2013－m，PH＝148(m＋2)(13m－20)当PHDH＝ACBC时，148(m＋2)(13m－20)2013－m＝1352＝12即148(m＋2)(13m－20)－113(13m－20)＝12，∴148(m＋2)－113＝12解得m＝－5013，∴P1（－5013，3513）当PHDH＝BCAC时，即148(m＋2)－113＝2解得m＝－12213，∴P2（－12213，28413）（3）由A（－4，3），B（4，4）可得直线AB的解析式为y＝18x＋72设直线A′B′的解析式为y＝18x＋t令1348x2＋18x－56＝18x＋t，得13x2＝48t＋40，∴x＝±48t＋4013∴A′（－48t＋4013，－1848t＋4013＋t），B′（48t＋4013，1848t＋4013＋t）分别过A′、B′作x轴的垂线，垂足为E、F，设Q（n，0）∵△A′QB′是以A′B′为斜边的等腰直角三角形∴∠A′QB′＝90°，AQ＝BQ∴∠A′QE＝∠QB′F＝90°－∠B′QF∴Rt△A′QE≌Rt△QB′F，∴A′E＝QF，QE＝B′F∴－1848t＋4013＋t＝48t＋4013－n，n＋48t＋4013＝1848t＋4013＋t解得：n＝12±27452CyB′A′DOxEFQCyBADOxPH∴Q1（12＋27452，0），Q2（12－27452，0）∴满足条件的点Q有两个：Q1（12＋27452，0），Q2（12－27452，0）126．（湖南郴州）阅读下列材料：我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax＋Bx＋C＝0的距离（d）计算公式是：d＝|A×m＋B×n＋C|A2＋B2．例：求点P（1，2）到直线y＝512x－16的距离d时，先将y＝512x－16化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d＝|5×1＋(－12)×2＋(－2)|52＋(－12)2＝2113．解答下列问题：如图2，已知直线y＝－43x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2－4x＋5上的一点M（3，2）．（1）求点M到直线AB的距离．（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将y＝－43x－4化为4x＋3y＋12＝0，由上述距离公式得：d＝|4×3＋3×2＋12|42＋32＝6∴点M到直线AB的距离为6（2）存在设P（x，x2－4x＋5），则点P到直线AB的距离为：d＝|4x＋3(x2－4x＋5)＋12|42＋32由图象知，点P到直线AB的距离最小时x＞0，x2－4x＋5＞0∴d＝|4x＋3(x2－4x＋5)＋12|42＋32＝3x2－8x＋275＝35(x－43)2＋133ylOxP（m，n）图1dyBOxM(3，2)图2A－4－2－2－42424∴当x＝43时，d最小，为133当x＝43时，x2－4x＋5＝(43)2－4×43＋5＝139，∴P（43，139）在y＝－43x－4中，令x＝0，则y＝－4，∴B（0，－4）令y＝0，则xy＝－3。∴A（－3，0）∴AB＝32＋42＝5∴△PAB面积的最小值为12×5×133＝656127．（湖南衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，①求证：PF＝PR；②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．解：（1）由题意得：A（2，－1），D（－2，－1）抛物线的解析式为y＝ax2，把A（2，－1）代入，得－1＝4a，∴a＝－14∴抛物线的解析式为：y＝－14x2（2）①由题意知，F（0，－1），设P（x，－14x2），则R（x，1）∴PF2＝x2＋(－14x2＋1)2＝116x4＋12x2＋1＝(14x2＋1)2PR2＝(－14x2－1)2＝(14x2＋1)2∴PF＝PR②由①得RF2＝x2＋1若△PFR为等边三角形，则PF＝RF∴(14x2＋1)2＝x2＋1，得x2＝－4（舍去）或x2＝12∴x＝±23，－14x2＝－3∴存在符合条件的P点，坐标为（23，－3）、（－23，－3）③由PF＝PR，得∠PRF＝∠PFR由①的结论知，QF＝QS，∴∠QSF＝∠QFS∵PR⊥BC，QS⊥BC，∴PR∥QS，∴∠RPF＋∠SQF＝180°∵△PRF和△QSF的内角总和为360°COxAyBDFECOxAyBDFEPQRS∴2∠PFR＋2∠QFS＝180°，∴∠PFR＋∠QFS＝90°∴∠RFS＝90°，∴△RSF是直角三角形128．（湖南怀化）如图，抛物线m：y＝－14(x＋h)2＋k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，254），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．解：（1）∵抛物线m的顶点为M（3，254）∴m的解析式为y＝－14(x－3)2＋254＝－14(x－8)(x＋2)∴A（－2，0），B（8，0）∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180°得到∴D的坐标为（13，－254）∴抛物线n的解析式为y＝14(x－13)2－254，即y＝14x2－132x＋36（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E（18，0）设直线ED的解析式为y＝kx＋b则18k＋b＝013k＋b＝－254∴k＝54b＝－452∴y＝54x－452，又P点坐标为（x，y）∴S＝12PF·OF＝12x(452－54x)＝－58x2＋454x（13＜x＜18）∴当x＝－4542×(－58)＝9时，S有最大值但13＜x＜18，∴△PEF的面积S没有最大值MOxyACBGEDPF（3）∵抛物线m的解析式为y＝－14(x－8)(x＋2)，令x＝0，得y＝4∴C（0，4），∴OC＝4∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G则OG＝3，GM＝254，∴CG＝5又AB＝10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上过M点作y轴的垂线，垂足为N则CM2＝CN2＋MN2＝(254－4)2＋32＝22516又CG2＋CM2＝52＋22516＝62516＝(254)2＝GM2∴CG⊥CM，∴直线CM与⊙G相切129．（湖南湘潭）如图，抛物线y＝ax2－32x－2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2－32x－2经过点B（4，0）∴0＝16a－32×4－2，∴a＝12∴抛物线的解析式为y＝12x2－32x－2（2）在y＝12x2－32x－2中，令y＝0，得12x2－32x－2＝0解得x1＝－1，x2＝4，∴A（－1，0）令x＝0，得y＝－2，∴C（0，－2）∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5∴AC2＝12＋22＝5，BC2＝42＋22＝20∴AC2＋BC2＝5＋