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2012年全国各地中考数学压轴题专集答案五、概率1．（浙江杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．解：（1）如x＝3（必须是下面（*）中的某一个）（2）设第三边长为x，则有x＜5＋7x＞7－5解得2＜x＜12∵x是正整数，∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11（*）∵组中三角形互不全等，∴n＝9（3）当这组三角形个数最多时，n＝9当三角形周长为偶数时，第三边可取的值有有4个，分别为：4，6，8，10故所求概率为P＝492．（山东济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求每种平面镶嵌中p、q的值．解：（1）所有出现的结果共有如下12种：第一次第二次ABCDABACADABABCBDBCACBCDCDADBDCD（2）∵12种结果中能构成平面镶嵌的有四种：AB、AD、BA、DA∴P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）＝412＝13（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，正三角形A正方形B正五边形C正六边形D则有60p＋90q＝360，即2p＋3q＝12∵p、q是正整数，∴p＝3，q＝2当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，则有60p＋120q＝360，即p＋2q＝6∵p、q是正整数，∴p＝4，q＝1或p＝2，q＝23．（山东潍坊）田忌赛马的故事为我们所熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取的牌不能放回．（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．解：（1）每人随机取一张牌共有9种情况：[或（10，9），（10，7），（10，5），（8，9），（8，7），（8，5），（6，9），（6，7），（6，5）]小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种∴小齐获胜的概率为P1＝39＝13（2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有6种：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9）∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种∴小齐获胜的概率为P2＝164．（成都某校自主招生）有十张正面分别标有数字－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式ax＋b＞0中的系数a，如果该不等式有正整数解的概率为12，求b的取值范围．解：∵a＜0，∴不等式ax＋b＞0的解集是x＜－ba∵该不等式有正整数解的概率为12∴当a＝－1，－2，－3，－4，－5时，不等式有正整数解当a＝－6时，不等式没有正整数解∴b5＞1且b6≤1，∴5＜b≤65．（湖北黄冈）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．1097589756975②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．解：①由题意知（x，y）共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）12种，其中x＞y有6种∴小明获胜的概率P（x＞y）＝612＝12②由题意知（x，y）除①中情形外，还有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）共16种，其中x＞y有6种∴x＞y的概率P（x＞y）＝616＝38＜12∴游戏规则不公平