搜索
用一元二次方程解决常见实际问题总结泉州九中初三数学备课组【常见类型】列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种（1）增长率、下降率问题（2）几何中面积、长度问题（3）假设存在问题（4）排列组合问题（5）销售问题（一）增长率问题例1某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？解：设这种药品平均每次降价的百分率是x．根据题意，得200(1－x)2＝128．解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品平均每次降价20%．小结1.列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，所以列一元二次方程解应用题的一般步骤也归纳为：审、设、列、解、检验、答这六个步骤．（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系；（2）设：是指设元，也就是设未知数；（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；（5）检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去；（4）解：就是解方程，求出未知数的值；（6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．例如课本探究2上次试题第二章填空题某企业为节约用水练习植树造林，某中学师生从2006年到2009年四年内共植树1999棵，已知该校2006年植树344棵，2007年植树500棵，如果从2007年到2009年的指数棵树的年平均增长率相同，那么该校2009年植树棵树多少颗？344+500+500(1+X)+500(1+X)2解得x=0.1x=-3（不合题意舍去）总结平均增长率问题中的基本数量关系为A（1+X）n=B(A为始量，B为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率)类似的还有平均降低率问题中的基本数量关系为A（1-X）n=B(A为始量，B为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率)例2如图所示，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2m，那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？AA’CBB’（二）几何中面积、长度问题分析：首先设出未知数，其次再根据勾股定理列出方程．∵AB＝10m，AC＝8m，∴根据勾股定理得：BC＝6（m）．解：设梯子的底端在地面上滑动的距离BB′为xm．根据题意，得（8－2）2＋（6＋x）2＝102．化简，得x2＋12x－28＝0．．解得x1＝2，x2＝－14（不合题意，舍去）．答：梯子的底端在地面上滑动的距离是2m．AA’CBB’例3在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540m2，道路的宽应为多少？分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2．20米32米解法一设道路的宽为xm，则横向的路面面积为32xm2，纵向的路面面积为20xm2，道路面积为（32x＋20x－x2）m2．20米32米根据题意得：32×20－（32x＋20x－x2）＝540．化简得，x2－52x＋100＝0．解得，x1＝2，x2＝50．其中的x＝50超出了原矩形的长和宽，应舍去．答：所求道路的宽为2m．解法二：见下图，设路宽为xm，则此时耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．20米32米根据题意得：（32－x）（20－x）＝540．20米32米解法二设路宽为xm，则耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）小结1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20m、长为32m”这个条件，从而进行正确取舍．总结解决此类问题必须具备良好的几何概念知识，熟悉长度，面积，体积等公式。有时需要通过平移的方法来解决问题。常见问题：挖沟的宽度，制作盒子，例如课本探究3设计书的封面练习有一个面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另一边用篱笆围成，如果篱笆的长为35米，求鸡场的长与宽各是多少？•长为15米宽为10米例4有一根长为120cm的绳子．（1）能否围成一个面积是500cm2的矩形？（2）能否围成一个面积是1000cm2的矩形？（三）假设存在问题分析：在解决这一类存在问题时，一般先假设面积是500cm2和1000cm2的矩形存在，再根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明符合条件的矩形存在；如果方程无解，则说明符合条件的矩形不存在．解：设这根绳子围成的矩形的长是xcm，则宽是（60－x）cm．（1）如果矩形的面积是500cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝500．化简得，x2－60x＋500＝0．解得x1＝10，x2＝50．当x1＝10时，60－x1＝50；当x2＝50时，60－x2＝10．答：长为120cm的绳子能围成面积是500cm2的矩形．（2）如果矩形的面积是1000cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝1000．化简得，x2－60x＋1000＝0．∵b2－4ac＝（－60）2－4×1×1000＝3600－4000＝－400＜0，∴此方程没有实数解．答：长为120cm的绳子不能围成面积是1000cm2的矩形．解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明假设成立；如果方程无解，则说明假设不成立．小结例如上次测试题用22厘米长的铁丝围成面积为31平方厘米的矩形。练习用长为100米的金属制成一个长方形框，框的面积为下列数据时，求矿的各边长。1.576平方米2.625平方米3.700平方米答案1.长为32米宽为18米2.长宽都是25米3.不能制成700平方米的框总结列出方程后根据判别式看是否有解，无解说明不能完成。等于零说明正方形。一定要确定长宽各是多少，长大于宽，宽大于长则舍去。例5在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？（四）排列组合问题分析：这是一个简单的排列组合问题，对这个问题，我们可以作这样的假设：如果有x个人参加聚会，那么第1个人需要与除他自己以外的其他（x－1）个人握手，要握（x－1）次手；第2个人也分别与其他（x－1）个人握手，可握（x－1）次手；……；依此类推，第x个人同样要与其他（x－1）个人握手，可握（x－1）次手,如此共有x（x－1）次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．所以，按照题意，可得12x（x－1）=45次手．解：设共有x人参加这次聚会．根据题意得：12x（x－1）=45．化简得，x2－x－90＝0．解得x1＝10，x2＝－9（不合题意，舍去）．答：共有10人参加这次聚会．小结1．与此相类似的问题还有：多边形的对角线、两人互通电话、下棋比赛等等．2．要注意与寄信等问题相区别，前者需要乘以12，而后者不需要．例如课本一元二次方程问题二要组织一次排球邀请赛，比赛者应该邀请独傲少个队参赛。练习某旅行团结束旅行，其中建议大家互相告别，细心的小明发现，每两个参加旅行的人相互握手一次，共握手66次，问这次旅行的人有多少？例6某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（五）销售问题分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列表的方式来分析其中的数量关系．每天的销售量（件）每件衬衫的盈利（元）总利润（元）降价前降价后204080020＋2x40－x1200解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得整理得：x2－30x＋200＝0．解得，x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．（40－x）（20＋2x）＝1200．例7（2010南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需化简）：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？分析：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200800－200－（200＋10x）80－x200＋10x解：设为了获利9000元，第二个月每件T恤的售价应定为（80－x）元，即每件T恤降价x元，根据题意得：80×200＋（80－x）（200＋10x）＋[800－200－（200＋10x）]×40－50×800＝9000．整理得：x2－20x＋100＝0．解得，x1＝x2＝10．当x＝10时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应为70元．1．列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出方程．【方法总结】2．在列一元二次方程解实际问题时还要注意一些关键的词语，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．3．在解决复杂问题时，我们可以借助于列表格等辅助方式弄清题目中的数量关系，列出方程．4．一元二次方程是我们日常生活中解决许多问题的有效模型，我们要善于利用列一元二次方程求解这个数学模型解决实际生活中的各种问题，并注意要根据实际意义进行解释和检验，从中体会数学建模的思想方法．此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！