2018版高中数学北师大版必修一学案：第一章-集合-3-2-全集与补集-含答案-精品

3．2全集与补集学习目标1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集(重、难点)；2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题(重、难点)．预习教材P12－14完成下列问题：知识点一全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．(2)记法：全集通常记作U．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集一定是实数集R.()(2)全集一定包含所有元素．()提示(1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.(2)全集并不是一个包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同，全集也不尽相同．答案(1)×(2)×知识点二补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【预习评价】1．若B＝∁UA，则()A．A⊆BB．B⊆AC．A⊆UD．A＝B解析由补集的定义知A⊆U．答案C2．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________．解析因为∁AB＝{5}，故5∈A，所以m＝5．答案5知识点三补集的性质(1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅；(3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．【预习评价】1．设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，∁MA和∁NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识．提示∁MA＝{0,3}，∁NA＝{3}，∁MA≠∁NA．由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同．2．根据补集的性质∁U(∁UA)＝A如何求集合A?提示可以先求∁UA，然后再求∁UA的补集即集合A．题型一简单的补集运算【例1】(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于()A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5}D．∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________．解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝{x|x1}．答案(1)B(2){x|x1}规律方法(1)根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U．【训练1】已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3x≤4}，则∁UA＝________．解析借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x4}．答案{x|x＝－3，或x4}题型二集合交、并、补的综合运算【例2】(1)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N＝()A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．(1)解析画出Venn图，阴影部分为M∩(∁UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}．答案B(2)解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出∁UA及∁UB，再求解．则∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3，或2x≤4}．所以A∩B＝{x|－2x≤2}；(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(∁UB)＝{x|2x3}．规律方法1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．2．求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分，如本例2求(∁UA)∪B时，可先求出∁UA，再求并集．【训练2】(1)设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．(2)设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B．解(1)∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,5,6,7,8}．(2)全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2x10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁RA＝{x|x3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}.互动题型三与补集相关的参数值的求解探究【探究1】设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．解∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A．∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4．当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，AU，故a＝－4舍去．综上知a＝2．【探究2】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．解由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是{x|m≥2}．【探究3】设全集U＝R，M＝{x|3ax2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊆(∁UP)，求实数a的取值范围．解∁UP＝{x|x－2或x1}，因为M⊆(∁UP)，所以分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．(1)M＝∅时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5．(2)M≠∅时，如图可得：3a2a＋5，2a＋5≤－2或3a2a＋5，3a≥1，所以a≤－72或13≤a5，综上可知，实数a的取值范围为aa≥13或a≤－72．【探究4】设全集U＝R，集合A＝{x|－5x4}，集合B＝{x|x－6或x1}，集合C＝{x|x－m0}，求实数m的取值范围，使其满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)，②C⊇(∁UA)∩(∁UB)．解因为A＝{x|－5x4}，B＝{x|x－6或x1}，所以A∩B＝{x|1x4}．又∁UA＝{x|x≤－5或x≥4}，∁UB＝{x|－6≤x≤1}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|xm}，因为当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁UA)∩(∁UB)时，m－5，综上，实数m的取值范围是{m|m≥4}．规律方法由集合的补集求解参数的方法(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有限个时，一般利用数轴分析法求解．课堂达标1．全集U＝{0,1,3,5,6,8}，集合A＝{1,5,8}，B＝{2}，则集合(∁UA)∪B＝()A．{0,2,3,6}B．{0,3,6}C．{2,1,5,8}D．∅解析∁UA＝{0,3,6}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,3,6}．答案A2．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于()A．{x|0≤x1或x1}B．{x|x1}C．{x|x1或x1}D．{x|x1}解析因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x1或x1}．答案A3．已知U＝{x|x0}，A＝{x|2≤x6}，则∁UA＝________．解析如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0x2，或x≥6}．答案{x|0x2，或x≥6}4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1x4}，B＝{x|0x5}，则A∩(∁UB)＝________．解析因为∁UB＝{x|x≤0或x≥5}，故A∩(∁UB)＝{x|－1x4}∩{x|x≤0或x≥5}＝{x|－1x≤0}．答案{x|－1x≤0}5．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，∁UA＝{5}，求实数a的值．解法一由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10，当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77∉U，所以a＝4．法二由A∪(∁UA)＝U知|a－7|＝3，a2－2a－3＝5，所以a＝4．课堂小结1．补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．(3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一．求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．精品文档强烈推荐精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有