2020年考研数学(一)真题(1)

2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.0x时，下列无穷小量中最高阶是（）A.xtdte012B.30ln(1)xtdtC.xdttsin02sinD.xdttcos103sin2.设函数xf在区间1,1内有定义，且0lim0xfx，则（）A.当0lim0xxfx，xf在0x处可导.B.当0lim20xxfx，xf在0x处可导.C.当xf在0x处可导时，0lim0xxfx.D.当xf在0x处可导时，0lim20xxfx.3.设函数xf在点0,0处可微，00,0f，0,01,,yfxfn非零向量d与n垂直，则（）A.0,,,lim220,0,yxyxfyxnyx存在.B.0,,,lim220,0,yxyxfyxnyx存在.C.0,,,lim220,0,yxyxfyxdyx存在.D.0,,,lim220,0,yxyxfyxdyx.4.设R为幂级数nnnxa1的收敛半径，r是实数，则（）A.nnnxa1发散时，Rr.B.nnnxa1发散时，Rr.B.Rr时，nnnxa1发散.D.Rr时，nnnxa1发散.5.若矩阵A经初等列变换化成B，则（）A.存在矩阵P，使得BPA.B.存在矩阵P，使得ABP.C.存在矩阵P，使得APB.D.方程组0Ax与0Bx同解.6.已知直线12121212:ccbbyaaxL与直线23232322:ccbbyaaxL相交于一点，法向量iiiicbaa，3,2,1i.则A.1a可由32,aa线性表示.B.2a可由31,aa线性表示.C.3a可由21,aa线性表示.D.321,,aaa线性无关.7.设A，B，C为三个随机事件，且41CPBPAP，0ABP，121BCPACP，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为A.43.B.32.C.21.D.125.8.设nxxx,,,21为来自总体X的简单随机样本，其中2110XPXP，x表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155iiXP的近似值为A.11.B.1.C.2,01.D.2,0.二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上.9.xexx1ln111lim0.10.设1ln122ttytx，则122tdxyd.11.若函数xf满足00axfxfaxf，且mf0，nf0，则dxxff0.12.设函数xyxtdteyxf02,，则11,12yxf.13.行列式aaaa011011110110.14.设x顺从区间2,2上的均匀分布，XYsin，则YXCov,.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求函数xyyxyxf338,的最大值.16.（本题满分10分）计算曲线积分dyyxyxdxyxyxIL222444，其中L是22yx，方向为逆时针方向.17.（本题满分10分）设数列na满足nnanaxa211111，证明：当1x时幂级数nnnxa1收敛，并求其和函数.18.（本题满分10分）设为由面4:2222yxyxZ的下侧，xf是连续函数，计算dxdyxyfdzdxxyxyyfdydzyxyxfI2222.19.（本题满分10分）设函数xf在区间2,0上具有连续导数，020ff，xfMx2,0max，证明：（1）存在号2,0，使得Mf；（2）若对任意的2,0x，Mxf，则0M.20.（本题满分11分）设二次型2221212144,xxxxxxf经正交变换2121yyQxx化为二次型222121214,byyyayyyg，其中ba.（1）求a，b的值；（2）求正交矩阵Q.21.（本题满分11分）设A为2阶矩阵，AP,，其中是非零向量且不是A的特征向量.（1）证明P为可逆矩阵；（2）若062AA，求APP1，并判断A是否相似于对角矩阵.22.（本题满分11分）设随机变量321,,XXX相互独立，其中1X与2X均服从标准正态分布，3X的概率分布为211033XPXP，23131XXXXY.（1）求二维随机变量YX,1的分布函数，结果用标准正态分布函数x表示.（2）证明随机变量Y服从标准正态分布.23.（本题满分11分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为.,0,0,1其他tetFmt其中，m为参数且大于零.（1）求概率tTP与STtSTP，其中0S，0t.（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为nttt,,,21，若m已知，求的最大似然估计值.