2.基本不等式

第2课基本不等式第一讲一不等式南皮县第一中学王龙生学习目标1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点基本不等式思考回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件.答案a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.梳理(1)重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立.(2)基本不等式①定理2：如果a，b＞0，那么，当且仅当时，等号成立.②定理2的应用：对两个正实数x，y，(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当时，它们的积P取得最值；(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当时，它们的和S取得最值.≥a＝ba＝bx＝y大x＝y小a＋b2≥ab题型探究类型一不等式的证明求证：1a＋1b＋1c≥9.证明例1已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.跟踪训练1已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；证明∵a，b，c，d，∈R＋，∴ab＋cd≥2abcd，ac＋bd≥2acbd，∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当a＝d且b＝c时取等号.证明类型二利用基本不等式求最值例2(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求1x＋2y的最小值；解1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4xy＋yx≥4＋24xy·yx＝4＋4＝8，当且仅当4xy＝yx，即x＝14，y＝12时，等号成立，∴1x＋2y的最小值是8.解答(2)若x＜0，求f(x)＝12x＋3x的最大值.解∵x＜0，∴－x＞0,故f(x)＝－12－x＋3－x≤－236＝－12，当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.解答跟踪训练2若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为A.2B.2C.22D.4√解析答案解析因为1a＋2b＝ab，所以a＞0，b＞0，因为ab＝1a＋2b≥21a×2b＝22ab，所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为22.类型三利用基本不等式解决恒成立问题例3对于x∈，不等式≥16恒成立，则p的取值范围为（））π2,0(xpxsix22cos1xpxsix22cos1=（）（）=1+p+≥1+p+2=xpxsix22cos1xx22cossinxxpxx2222cossinsincosp2)1(p当且仅当时，等号成立xxp22cossin因为≥16，所以p≥92)1(p跟踪训练3已知x0,y0且满足x+y=6，则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围（）yx91因为x0,y0≥)910(61)91(691yxxyyxyxyx38)610(61当且仅当时等号成立，又x+y=6，x0,y0,得yxxy929,23yx所以m的取值范围为m≤38达标检测1.下列不等式中，正确的个数是解析答案①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2＞2；③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；④若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab.A.0B.1C.2D.3√2、下列说法中，正确的个数是（）①函数的最小值是2xxy1②函数（x∈）的最小值为6xxycos9cos)2,0(π③若正数a，b满足2a+b=2，则ab的最大值为21A、0B、1C、2D、31.对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.规律与方法(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.(2)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋).(3)ba＋ab≥2(a，b同号).(4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b∈R＋).(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.2.利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.本课结束