一单元集合与常用逻辑用语

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第一单元集合与常用逻辑用语知识体系1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式:一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等,题型以选择题和填空题为主;二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用,往往与其他知识融为一体,题型可以是选择题、填空题,也可以是解答题.其中,集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点,常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起.2.常用逻辑用语主要包含三部分内容:命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考,主要体现在三个方面:一是充分必要条件的推理判断;二是命题的四种形式;三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题,一般是以其他的数学知识为载体,具有较强的综合性;对于全称命题与特称命题,一般是考查对两个量词的理解,考查两种命题的否定命题的写法,这是考查的热点.通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势,尤其是新课改地区的高考试题的分析,复习时宜采用以下应试对策:1.在复习中首先要把握基础知识,深刻理解本单元的基本知识点,基本的数学思想方法,重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用.2.涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题,也有小型和大型的综合题,因此在复习中既要灵活掌握基本题型,又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备.3.重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法,而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.第一节集合1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于∈不属于(4)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N+ZQRC(3)常见集合的符号表示2.集合间的基本关系表示表示关系文字语言符号语言子集A中任意一个元素均为B中的元素相等A是B的子集且B是A的子集真子集A中任意一个元素均为B中的元素,B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集BAABBA且,ABBØABBA或集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为CUA图形表示意义{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}A}xU,x|{xACU且3.集合的基本算法1.(教材改编题)用适当符号填空.0{0,1};{a,b}{b,a};0;答案:}.36x|{x}17{4,,,2.(2009·福州市高中毕业班单科质量检查)集合A={x|x(x-1)<0},B={y|y=,x∈R},则A∩B是()A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(-∞,0)解析:由已知得A={x|0<x<1},B={y|y>0}.∴A∩B=(0,1)答案:C3.(2009·福州市高三第二次质检)设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若AB,则a的范围是()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤22x4.(2009·全国Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个UC解析:∵U=A∪B={3,4,5,7,8,9},又∵A∩B={4,7,9},∴(A∩B)={3,5,8}.答案:A解析:集合A、B如图所示:,∵AB,∴a≤1.答案:BUC1.集合中元素的三个基本性质的应用(1)确定性:任意给定一个对象,都可以判断它是不是给定集合的元素,也就是说,给定集合必须有明确的条件,依此条件,可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素,二者必居其一,不会模棱两可.如:“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.5.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,|a-5|},MU,={5,7},则a的值为()A.2或-8B.-8或-2C.-2或8D.2或8UCM解析:∵M={5,7},∴M={1,3},∴|a-5|=3,∴a=8或a=2.答案:DUC2.集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图象语言的互化.4.进行集合的运算时,应把参与运算的集合化到最简形式,再进行运算,运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.3.利用集合间的关系建立不等式求参数范围时,要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.(3)无序性.(2)互异性:即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的,特别是含有字母的问题,解题后需进行检验.5.注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.题型一集合的基本概念【例1】已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值.解由A=B可知,解(1)得q=1;解(2)得q=1,或又因为当q=1时,m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性,应舍去,所以分析由A=B可知A,B两个集合中的元素相同,观察A,B两个集合中有一共同元素,则其他两个元素应对应相等,由于情况不确定,需要分类讨论.学后反思本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性,切入点是分类讨论思想,由于集合中元素用字母表示,检验必不可少.22mdmq,mdmq,1.2.m2dmqm2dmq.()()21-q21-q1.设A={-4,2a-1,},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求实数a的值.解析:∵A∩B={9},∴9∈A.(1)若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={9,-4},与已知矛盾,舍去.(2)若a2=9,则a=±3.当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.综上所述,a=-3.举一反三2a解先化简集合A={-4,0}.由A∩B=B,则BA,可知集合B或{0},或{-4},或{-4,0}.(1)若B=,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;(2)若0∈B,代入得a2-1=0a=1或a=-1,当a=1时,B=A,符合题意;当a=-1时,B={0}A,也符合题意.(3)若-4∈B,代入得a2-8a+7=0a=7或a=1,当a=1时,已经讨论,符合题意;当a=7时,B={-12,-4},不符合题意.综上可得,a=1或a≤-1.题型二集合之间的关系【例2】设集合A={x|+4x=0},B={x|+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求实数a的取值范围.分析根据A、B间的关系,对B进行分类讨论,然后求解并验证.2x2x学后反思解决集合间的关系问题,关键是将集合化简,特别是含有字母参数时,将字母依据问题的实际情况进行合理分类,分别进行求解,最后综合后得出答案.2.设集合A={x||x-a|≤2},集合B={x||4x+1|≥9},且求a的取值范围.解析:A={x|a-2≤x≤a+2},B=x|x≥2或x≤∵,∴A∩B=A,如图所示.∴a+2≤或a-2≥2,∴a≤或a≥4.BABA25-29-25-举一反三题型三集合的运算【例3】已知全集I=R,A={x|x24},,求(CRA)∩(CRB).}1x2x1x3x|x{B分析解决本题的关键:(1)集合B的化简;(2)(CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)(等价转化).解A={x|x>2或x<-2},∴A∪B={x|x<-2或x>-1}.∴(CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)={x|-2≤x≤-1}3}x-1|x{}01x3x|x{B学后反思本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么,然后对集合进行化简,并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解,同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.3.设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则CR(A∩B)等于()A.RB.{x|x∈R,x≠0}C.{0}D.解析:由已知,A=[0,4],B=[-4,0],∴A∩B={0},∴CR(A∩B)={x|x∈R,x≠0}.答案:B举一反三题型四利用Venn图解决集合问题【例4】设全集U是实数集R,M={x|>4},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}2x分析首先用集合符号表示出阴影部分,然后对相应集合化简.解依题意,该图形中阴影部分表示的集合应该是N∩(M),而M={x|>4}={x|x>2或x<-2},于是M={x|-2≤x≤2},因此N∩(M)={x|1<x≤2}.2xRC学后反思新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”,将对Venn图的要求提高到一个更高的层次,因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.RCRC举一反三4.(2009·江西)已知全集U=A∪B中有m个元素,(A)∪(B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m+nC.n-mD.m-nUC解析:如图,∵(A)∪(B)=(A∩B).而阴影部分就表示集合(A∩B),∴阴影部分有n个元素,而U=A∪B中有m个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:DUCUCUCUCUC题型五新型集合的概念与运算【例5】(12分)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且xN},MN=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-,x∈R},求AB.分析充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简,再代入进行计算.解由y=x2-3x(x∈R),即得3..........,.........49-49-23-xy24..................}.........49-y|y{A2x∵y=-2x(x∈R),2x>0,∴-2x<0,∴y<0,∴B={y|y<0},………………………..6′9A-B{y|y0},B-A{y|y-}....................1049AB(A-B)(B-A)(-,-)[0,)4...................................................................................12U学后反思新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下,充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题,是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.举一反三5.(2019·江西)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合AB的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6解析:依题意,A*B={0,2,4},∴它的所有元素之和为6.答案:D【例】已知
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