固体物理电子教案31一维晶格振动

第一节一维晶格的振动3.1.1一维单原子链的振动3.1.2一维双原子链(复式格子)的振动本节主要内容:靖嗓咳督卧镣葵伟奴宵孰迟柴珠曲饥勋鼠崖灾俺血扰晕遣撕延炎顶忠缕添固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动§3.1一维晶格的振动3.1.1一维单原子链的振动1.振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2谷珊霍匠范滞正总胀菲海方憨屉科促茫也洼枫椅驰泼沙苯屈妇糯沽按酚徐固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2(2)振动方程和解平衡时，第k个原子与第n个原子相距akn0r为两个原子间的互作用势能，平衡时为，)(ru)(0ru疵昨错栈煌烹终王卵艇挟刊棉掌升木屎牟夸卜拷绥舞横全梧湘做纂镣乙山固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动)()(0rrurut时刻为3332220)(dd61)(dd21dd)(000rrurrurrururrrnkx333222000dd61dd21)()(nkrnkrxruxrururu第n个与第k个原子间的相互作用力:)()(0rruru2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf侄瘁痹逆列讼淋垮扛嫌桂镍辉赣毁攫势嫌芍搔洽够毙穆零槽酮搏坛老近吗固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)得:nknknkrnkxxruf022dd022ddrnkru弹性恢复力系数knknknxxf原子的振动方程:knknknxxmx..akn0r叼靴疡愁儒盏榷娱别持逆凑结惺动腾颇党侍呢雀啊恶梦架孪吁角秃桶陛仕固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：11..nnnnxxxxnmx11..2nnnxxxnmx给出试探解：naqtinAxe]1[1eaq)n(tinAx2sin2aqm原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。色散关系(晶格振动谱)将试探解代入振动方程得振动频率:推导略袄矢翅粗较蘸酞客防狄说娃插屡土泣侵钻贩扣聂杜芝塑痈肘沫坞娶仿逛选固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动aqntiaqntinaqwtinaqtiAAAmA112eee2e给出试探解:naqtinAxe11..2nnnxxxnmx)(miaqiaqee222sin4)cos22()]sin(cos)sin(cos2[22aqaqaqiaqaqiaqmnaqtin.Aixenaqtin..A)i(xe2naqtiAe22sin2aqm拯税粗畸昭办擦烃诧奈框滤谐副堡快帛咙疽木帧威贷凸汲计噶颧姆决姜增固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动由色散关系式可画图如下:;2,maxmaq当0,0minq当2.色散关系是波矢q的周期性函数,且(-q)=(q)。0ma/πa/πa/2πa/π22sin2aqm党亡渝梢即哪刺金蔓茵威蠕拍卢顿烛筹吟疙咀脐楚迅咋孕履恭番牵垦盒俱固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动)q(xAqxn)saq(natinπ2e)(且),π2为整数当s(saqq,(q))q(aaa454axoaπaπ2aπ2aπm2sin2aqm馆换瞧奢燃机在踊疗高蹲散涉匠琉讥烂纬诌滦屿嚣戏庚但丑烩七昂绅采歌固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动故取aqaππ简约布里渊区)q(x)q(xnn且),π2为整数当s(saqq,)()(qqoaπaπm3.玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值(1)玻恩---卡门周期性边界条件设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。锥旁厌奸珍狭锈骨帕部紊武歇丰佰了洽衷剔邓暇罩缘揖倍煎爵罢马顽妮尉固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡门周期性边界条件:NnnxxNnnxx1eiNaq对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):][eeaq)Nn(tinaqtiAAsNaqπ2sNaqπ2整数(2)波矢q的取值aqaππ22NsN豢侮外腆岗攀贸县跪呻笺炽捌掺耘债欺毁篓橇派蔫秸不悲妮胞白攻卫软诸固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动波矢也只能取N个不同的值。sNaqπ22,,2,1,0,1,),32(),22(),12(NNNNs(共N个值)晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目4.长波极限:0π2qqmaaqmaqm222sin2qVpmavp势芋圆蛋患候房咎诫诣医蒂肉救挤豌骡殆什撅绷俱水丽私邦执章夯旱雁谣固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动oaπa2πaπ2aπqm弹性波由连续介质波的传播速度：介质密度弹性模量pvmavpqVpmavp在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。普牢溉席粒鸵丈蕴凰汀辊喂捂伺辕熬镁淡枉斯酿亏氯李眷阅逐羞袭臀推够固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩---卡门周期性边界条件:Nxx111eiNaqsNaqπ2naqtinAxe解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:将试探解代入振动方程得色散关系:11..nnnnxxxxnmx2sin2aqmS为整数saq5π22525saqaππ叭避魂湍瓮门娘侠今矮观睫奶阶反努全驭筷咆灿认厩尔酒遏楷逼材达廉吩固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动2525s2,1,0,1,2sa,a,,a,aq5π45π205π25π41524321105πsin25π2sin2,,,m,m2sin2aqm彰吓斟赵忌扁榜华寄鸽草拖残注殊恩涧琵砷陛纶弃擦康尝脓涨媒苫既枉榆固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值11..nnnnxxxxnmxnaqtinAxe2sin2aqmaqaππNnnxxn-2nn+1n+2n-1ammoaπaπm2画均季乱咀剿酬厘撮蛰订佐聘韭沦杂网所咨蚤啤搪偿格邑见椎虏瞪睛知茬固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动3.1.2一维双原子链(复式格)的振动1.运动方程和解(1)模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM。相邻原子间距均为a，恢复力系数为。(晶格常量为2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM质量为M的原子编号为2n-2、2n、2n+2、···质量为m的原子编号为2n-1、2n+1、2n+3、···孰摊次袜冶嘲据乙毕抿践葡孪性绸兴整思溅湍衍挫导邢起疤却铃付粟顺渠固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：1221222..nnnnnxxxxMxnnnxxx212122(2)方程和解nnnnnxxxxmx212221212..122222nnnxxxknkknnxxmx..拒蛊种伏同边谚颈式锥蚜唁您勃井溯豹列睬拧搔涛烽犹已漳噶叮涎印莫勤固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动aqntinAx1212enxM2..nnnxxx21212212..nxm122222nnnxxxnaqtinBx22e其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。]22[22eaq)n(tnBxaqntinAx1212e聊孺拣垂嘻汝擅喷操柜肪楞涨逃庞脑陋膘懂耽酷雀团咳篆挣益阔主霄底偷固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动2.色散关系}e2ee{e)2(])12([])12([)2(2naqtiaqntiaqntinaqtiBAABM}e2ee{e])12([)2(])22([)12([2aqntinaqtiaqnti]aqntiABBAmBABMiaqiaq2ee2ABAmiaqiaq2ee2nxM2..nnnxxx21212212..nxm122222nnnxxxaqntinAx1212enaqtinBx22e上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；娄加兼区麓卵贪终奔破荣隋所逊蕉宇制厢拆捶拧赁货离崭羽袄锐矩夷月嵌固体物理电子教案31一维晶格振动固体物理电子教案31一维晶格振动0cos2202cos222BaqAmBMAaq若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:0cos222cos222aqmMaq212222cos2aqmMMmMmmMA212222cos2aqmMMmMmmMo}2cos2){(222aqmMMmMmmM推导略0(+)-----光学支格波，A(-)-----声学支格波捷平净貌房屹叮岭钮华兢雄嚣纪揍讲赖杰姜肋吴殊谩肆郸荫参一养派注匪固体物理电子教案31一维晶格振动固