有理数加减法法则

有理数加减法法则【知识要点】1．有理数的加法法则：①同号两数相加，取__________的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较______的加数的符号；③互为相反数的两数相加，和为0；④一个数与0相加，仍得这个数．2．用字母表示加法法则：①同号两数相加，若a＞0，b＞0，则a＋b＝__________；若a＜0，b＜0，则a＋b＝________；②异号两数相加，绝对值不相等时，若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a＋b＝_______；若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a＋b＝_____；③若a＞0，b＜0，|a|＝|b|，则a＋b＝______；④a＋0＝a．3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用式子可以表示为：__________．4．代数和：把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式，这种算式称为___．5．加减混合运算的步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为_____，统一成代数和的形式；②运用加法法则，加法运算律进行运算．【经典例题】一、有理数的加法法则例1计算：（1）(－15)＋(－7)；（2）(－121)＋(＋241)；（3）(－14.2)＋(＋14.2)；（4）(－3.14)＋0．【思路点拨】（1）两个负数相加，结果为负；（2）异号两数相加，因为|－121|＜|241|，所以符号取正；（3）互为相反数的两数和为0；（4）一个数同0相加，仍得这一个数．解：（1）(－15)＋(－7)＝－22；（2）(－121)＋(＋241)＝43；（3）(－14.2)＋(＋14.2)＝0；（4）(－3.14)＋0＝－3.14．【方法规律】计算有理数加法的步骤：①先定符号；②再算绝对值；③最后做加、减法．二、对加法法则的理解例2下列说法正确的是（）A．两个有理数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和B．两个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和C．一个正数和一个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和D．一个正数和一个负数相加等于0【思路点拨】可用一些具体的数验证上面的说法．【答案】B【方法规律】有理数的加法分同号、异号、与零相加三种情况，计算时先定符号，再计算绝对值的和或差．例3下列说法正确的是（）A．两数之和一定大于每个加数B．两数之和一定小于每一个加数C．两数之和一定介于两个加数之间D．以上皆有可能【思路点拨】对于A、B、C选项，可分别举一个反例来证明它们是错误．【答案】D三、有理数加法运算律（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；[来源:]使用加法交换律和结合律，移动加数位置时，一定要连同数前面的符号一起移动，用运算律计算可以减少反复确定结果符号的次数，也可以使运算变得简单．例4计算：16＋(－25)＋24＋(－32)＋(－5)＋(－13)．【思路点拨】根据本题的特点，可分正、负两组数进行计算．解：原式＝(16＋24)＋[(－25)＋(－32)＋(－5)＋(－13)]＝40＋(－75)＝－(75－40)＝－35．【方法规律】同号n个数相加，容易确定和的符号，最后剩下一对异号的数相加，和的符号取绝对值大的加数的符号，并且较大的绝对值减去较小的绝对值．例5下列各式能用加法的运算律简便计算的是（）A．652＋43＋1B．532＋(－221)C．(－8)＋(－7.5)＋(－2)＋(＋4.5)D．421＋(－87)＋(－331)＋(－254)【思路点拨】C选项中，可按正、负数分组，也可把－7.5和＋4.5作一组，－8与－2作一组，分别求和，再相加．【答案】C【方法规律】用运算律的目的是使计算简便，因此，计算时，应该怎样算简便就怎样算．四、有理数加法的实际应用在运用有理数加法解决实际问题时，必须先确定何为“正”，何为“负”，然后才可以依据要求列出式子，最后用适当的方法计算得出结果．例6某旅游景区，今年第一季度盈利2200000元，第二季度亏损800000元，则该景区今年上半年的效益为多少？【思路点拨】设定盈利为“正”，则亏损为“负”，再列加法计算出结果．解：2200000＋(－800000)＝1400000（元）即该景区今年上半年的效益为盈利1400000元．【方法规律】做有理数的实际应用性题目时，先根据题意，设定“正|”、“负”，再计算，并由此作答．五、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)，在减法变为加法的时候，要注意“两变”：①运算符号由“－”号变为“＋”号；②减数变为原来的相反数．例7计算：（1）3.3－(＋4.7)；（2）－741－(－821)；（3）(－331)－561；（4）0－100；（5）(－8)－0；（6）8.5－(－5.7)．【思路点拨】按减法法则，先将减法转化为加法，然后根据有理数加法的法则及运算律进行计算．解：（1）3.3－(＋4.7)＝3.3＋(－4.7)＝－1.4；（2）－741－(－821)＝－741＋821＝141；（3）(－331)－561＝(－331)＋(－561)＝－821；（4）0－100＝0＋(－100)＝－100；（5）(－8)－0＝－8；（6）8.5－(－5.7)＝8.5＋5.7＝14.2．【方法规律】一个数减0等于这个数本身．六、有理数加减混合运算有理数混合运算的步骤：①运用有理数减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行运算．例8计算：（1）(－321)－(－532)＋(＋731)；（2）7.54＋(－5.72)－(－12.46)－(＋4.28)．【思路点拨】（1）含分数的有理数运算中，同分母的数可优先计算；（2）含小数的有理数运算中，可以使用凑整法，简化运算过程．解：（1）(－321)－(－532)＋(＋731)＝－321＋532＋731＝－321＋(532＋731)＝－321＋13＝921；（2）7.54＋(－5.72)－(－12.46)－(＋4.28)＝7.54－5.72＋12.46－4.28＝(7.54＋12.46)－(5.72＋4.28)＝20－10＝10．【方法规律】有理数的混合运算中，要注意正确的运算步骤．【拓展探究】一、有理数加法运算律的运算技巧利用有理数的加法运算律，为了使计算简单，运算时常用到一些技巧，如：①相反数结合法；②同号结合法；③同分母结合法；④凑整法；⑤同形结合法、带分数相加时，先将其拆成整数和分数，再利用加法运算律相加．例1用简便方法计算：（1）(－0.5)＋(－341)＋2.75＋(＋721)；（2）(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋1.75)．【思路点拨】分数与小数混合的有理数加法中，应先把小数与分数的形式统一之后，再进行计算．解：（1）(－0.5)＋(－341)＋2.75＋(＋721)＝(－0.5)＋(－3.25)＋2.75＋(＋7.5)＝[(－0.5)＋(－3.25)]＋[2.75＋7.5]＝(－3.75)＋10.25＝6.5；（2）(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋1.75)＝(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋143)＝[(－32)＋(－132)]＋[(－243)＋(＋143)]＝(－231)＋(－1)＝－331．【方法规律】（1）中用到同号结合法；（2）中用到同分母结合法，也可用同号结合法．例2计算：(＋341)＋(－253)＋(－781)＋543＋(－852)＋(＋781)．【思路点拨】(－781)与＋781结合、(－253)与(－852)结合、(＋341)与543结合起来计算比较简便．解：原式＝[(＋341)＋543]＋[(－253)＋(－852)]＋[(－781)＋(＋781)]＝9＋(－11)＋0＝－2．【方法规律】多个分数相加，互为相反数的数或同分母的数优先相加．例3计算：(－201565)＋(－199932)＋(＋401532)．【思路点拨】把每个带分数的整数部分与真分数部分分开，再分整数、分数分别进行计算．解：原式＝(－2015)＋(－65)＋(－2000)＋(＋31)＋4015＋32＝[(－2015)＋(－2000)＋4015]＋[(－65)＋(31)＋32]＝0＋(＋61)＝61．【方法规律】有时拆分带分数为整数部分与分数部分，可使计算简便．例4用不同的简便方法计算：(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋(＋99)＋(－100)．【思路点拨】可用不同的分组的方法求和．方法一：原式＝[(＋1)＋(－2)]＋[(＋3)＋(－4)]＋…＋[(＋99)＋(－100)]＝个50)1()1()1(＝－50；方法二：原式＝[1＋(－2)＋(＋3)＋(－4)]＋[(＋5)＋(－6)＋(＋7)＋(－8)]＋…＋[(＋97）＋(－98)＋(＋99)＋(－100)]＝个25)2()2()2(＝－50．二、用作差法比较两个有理数的大小比较两个有理数a与b的大小，可以先求出a与b的差a－b：①若a－b＞0，则a＞b；②若a－b＝0，则a＝b；③若a－b＜0，则a＜b．例5若x＝－31＋15.25＋(－32)，y＝－11.25＋4.5，比较x与y的大小．【思路点拨】先求出x与y的差，再比较x－y与0的大小关系．解：因为x－y＝[－31＋15.25＋(－32)]－(－11.25＋4.5)＝(－1)＋26.5－4.5＝21＞0，所以x＞y．三、有理数加减混合运算的步骤方法和技巧做有理数加减混合运算时通常分两个步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行计算．常见的技巧：①正数和负数分组计算；②互为相反数的两个数结合；③同分母分数相结合；④凑整；⑤拆带分数为整数和分数两部分参与计算．例6计算：（1）(＋0.125)＋(－481)＋(－243)＋(－1275)＋0.75；（2）(＋7)＋3.7869－(－5)＋(－521)－(＋341)－(＋1.7869)．【思路点拨】（1）把小数、分数统一为分数形式较容易识别并结合同分母；（2）用凑整法分母结合．解：（1）原式＝81＋(－481)＋(－243)＋(－1275)＋43＝[(－243)＋43]＋[81＋(－481)]＋(－1275)＝－2＋(－4)＋(－1275)＝－1875．（2）原式＝[3.7869－(＋1.7869)]＋[(＋7)＋－(－5)]＋(－521)－(＋341)＝2＋12＋(－521)－(＋341)＝541．【方法规律】分组结合时，注意括号的使用．四、数轴上两点间的距离表示数轴上两点间的距离可用右边点表示的数减去左边点表示的数，或用两个点表示的数相减的绝对值表示，如AB＝y－x＝|x－y|．例7已知数轴上两点A与B．（1）若A表示3，B表示5，则A，B之间的距离为_______________；（2）若A表示3，B表示－3，则A，B之间的距离为______________；（3）若A表示－2，B表示3，则A，B之间的距离为______________；（4）若A表示－2，B表示－3，则A，B之间的距离为_____________；（5）猜想：若A表示数a，B表示数b，则A、B之间的距离为_____________．yxBA【思路点拨】画数轴来分析问题．解：（1）2（2）6（3）5（4）1（5）|a－b|五、有理数加减法的实际应用例8甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相待一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼声中标志物又向甲队方向移动0.9米．如果规定，标志物向某队方向移动2米，该队即可获胜，那么最终哪队取得了胜利？【思路点拨】先规定标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，然后列式计算，比较结果与2米的大小．解：设标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，依题意，得(－0.2)＋(＋0.5)＋(－0.4)＋(＋1