数字图像处理-胡学龙等-第03章-图像变换

（a）信号的频谱图（b）图（a）的灰度图图3.2信号的频谱图二维信号的频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换连续傅里叶变换无法用数字计算机实现，而离散傅里叶变换建立了离散时间域与离散频率域之间的关系，物理意义强且具有快速算法，在信号分析与图像处理领域具有很大的使用价值。尺寸为M×N的离散图像函数的DFT反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得1010)//(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF（3.3）1010)//(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf（3.4）DFT变换进行图像处理时有如下特点：（1）直流成分为F(0,0)，在频谱原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度级。（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。（3）图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。),(),(),(vujIvuRvuF]),(),(arctan[),(vuRvuIvu（3.5）（3.6）3.1.3二维离散傅里叶变换的性质1．周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性来了许多方便。我们首先来看一维的情况。设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：其他00)(XxAxfuXjXuxjuxjeuXuXAXdxeAdxexfuF022sin)()(幅度谱：uXuXAXuFsin)(（a）幅度谱（b）原点平移后的幅度谱图3.4频谱图DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。根据定义，有在进行DFT之前用(-1)x乘以输入的信号f(x)，可以在一个周期的变换中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一个完整的频谱。10102)2/(2)()1(1)(1)2/(NxNxxuNjxNuxNjexfNexfNNuF（3.7）推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数，则有：DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为：即f(x,y)的平均值。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。)2/,2/(])1)(,([NvMuFyxfDFTyx（3.8）1010),(1)0,0(MxNyyxfMNF（3.9）（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图3.5图像频谱的中心化2．可分性离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示这里对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。1010/2/2),(11),(MxNyNvyjMuxjeyxfNeMvuF10/2),(1MxMuxjevxFM（3.10）10/2),(1),(NyNvyjeyxfNvxF（3.11）二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2DDFT。图3.6二维DFT变换方法3．离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf（3.12）),(),()],(*),([vuGvuFyxgyxfDFT（3.13）【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif');%读入图像imshow(A);%显示图像A2=fft2(A);%计算二维傅里叶变换A2=fftshift(A2);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%显示变换后的频谱图（a）原始图像（b）图像频谱图3.7傅里叶变换3.2二维离散余弦变换（DCT）任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n)得：)(nfc1),1(10),(nNnfNnnf＝（3.14）-N-10N-1NN+1f(n)图3.8延拓示意图2．以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）)(nfc12),12(10),(NnNnNfNnnf＝（3.15）)12(nNfc＝)(nfc（3.16）3．对0到2N－1的2N个点的离散周期序列作DFT，得令i＝2N－m－1，则上式为)(nfc)(kFc1202)(NnnkNcWnf＝＝102)(NnnkNWnf122)12(NNmmkNWmNf＋)(kFc102)(NnnkNWnf＋01)12(2)(NikiNNWif＝＝22kNW102)12(cos)(NnNknnf为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)＝C(k)N2C(k)=102)12(cos)(NnNknnf（3.17）其中11,10,21Nkk（3.18）3.2.2二维离散余弦变换1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuF（3.19）DCT逆变换为【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif');%读入图像I=dct2(A);%对图像作DCT变换subplot(1,2,1),imshow(A);%显示原图像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxf（3.20）（a）原图（b）DCT系数图3.10离散余弦变换3.3二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什（Walsh）变换。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。3.3.1哈达玛变换哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为N＝2n。一维哈达玛变换核为其中，代表z的二进制表示的第k位值。10)()()1(1),(niiiubxbNuxg（3.21）)(zbk一维哈达玛正变换为一维哈达玛反变换为二维哈达玛正反变换为10)()(10)1)((1)(nxubxbniiixfNuH（3.22）10)()(10)1)(()(nuubxbniiiuHxf（3.23）1010)]()()()([10)1)(,(1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH（3.24）1010)]()()()([10)1)(,(1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf（3.25）二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。正反变换都可通过两个一维变换实现。高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：N＝8的哈达玛矩阵为222211NNNNNHHHHNHN（3.26）5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H（3.27）3.3.2沃尔什变换哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。一维Walsh变换核为二维沃尔什正变换和反变换为101)()(10)1(1),(niiniubxbNiNuxg（3.28）1010)]()()()([101011)1(),(1),(NxNyvbybubxbniniiniiniyxfNvuW1010)]()()()([101011)1(),(1),(NuNvvbybubxbniniiniinivuWNyxfN＝8时的沃尔什变换核的值为3.4卡胡南-列夫变换（K-L变换）Kahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。H8=765432101111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111221（3.29）3.5二维离散小波变换一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。3.5.1连续小波变换按如下方式生成的函数族称为分析小波或连续小波。称为基本小波或母波a,b属于R,a不等于0，a称为伸缩因子，b为平移因子。0,,)()(21,aRbaabxaxba（3.30）)(x•母波可由平移与尺度变换构造小波基函数。•如Harr函数是一种基本正交基，也是小波变换中的典型小波，图示。•其中为扩展运算，•而由为平移变换。•重复使用平移与扩展可以得到下一级的小波函数•得到Harr小波基：•式中，j为正整数。•设函数,函数满足以下容许性条件：•则称为一容许小波，并定义信号f(x)的连续小波变换的)(x)(x•重构f(x)的小波逆变换：3.5.2离散小波变换把连续小波变换离散化更有利于实际应用。对a和b按如下规律取样：其中，；；，得离散小波：离散小波变换和逆变换为mmanbbaa000,（3.31）10aRb0Znm,)()(0020,nbxaaxmmnm（3.32）)(),()(*)(,,,xxfdxxxfWnmnmnm（3.33）nmnmnmnmnmnmfWkf,,,,,,,)(3.5.3二维离散小波变换可分离二维小波变换的频率域分解示意图•对LL1做第二层分解•对LL2可以类似的处理得到第三层分解•将原数字图像做J层分解后，可把图像分解成3J+1幅离散图像，通常3层分解就足够精细。小波变换常用的MATLAB函数•（1）[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)•对图像进行一层二维小波分解•X为图像矩阵•’wname’：使用的小波基函数名称•如选择双正交样条小波基函数，形式为biorNr.Nd•CA,CH,CV,CD:输入矩阵X小波分解的近似系数矩阵、水平细节系数、垂直细节系数、对角线细节系数。•（2）Waveinfo(‘wname’)•查询使用的小波基函数的信息。•（3）Y=upcoef2(O,X,’wname’,N)•对二维小波分解的图像进行各种分量的重构•X:分解后的细节信号•