第六讲-实数的概念及性质

1专题实数【知识要点】从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．一、有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式，这里p、q是互质的整数，且0p．2．性质：（1）顺序性，即对任意两个有理数nm,，在nmnmnm,,三种关系中，有且只有一种关系成立；（2）封闭性，即任意两个有理数的加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；（3）稠密性，即任意两个有理数之间仍存在着一个有理数；（4）有理数也可以写成有限小数或无限循环小数的形式，形式上可与分数互化。3．无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．二、实数的概念及分类1、无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数。2、无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数三、相反数数a的相反数是a，0的相反数是0，若ba,互为相反数，则0ba，反之亦成立。四、倒数数)0(aa的倒数为a1，0没有倒数若ba,互为倒数，则1ab，反之亦成立（相反数、倒数都是指两数之间的关系）五、绝对值1．)0()0(0)0(aaaaaa2．性质：2（1）0a；（2）aaaa,；（3）若ba，则ba,相等或互为相反数；（4）222aaa；（5）baab，)0(bbaba；（6）yxyxyx；yxyxyx。六、实数的整数部分和小数部分1．定义：设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，{x}=x[x]称为x的小数部分。2．性质：（1）[x]是一个整数，{x}是0或正的纯小数；（2）对任何实数x，有x=[x]+{x}；（3）对任何实数x，1][][1xxxx；（4）若n为整数，则[nx]=[x]n，{nx}={x}；（5）为yx,任意实数，若yx，则][][yx；若yx，则][][yx；若][][yx，则yx；（6）yx,为任意实数，][][][yxyx，}{}{}{yxyx；（7）0,0yx，则]][[][yxxy。【例证性习题】例1、若x、y为有理数，且21124xxy，求xy的值．例2、若a、b满足ba53=7，且S＝ba32，求S的取值范围是．例3、证明循环小数4561.261545454.2是有理数3例4、已知a、b均为有理数，且满足等式252223aba，求a、b的值．例5、求证：任何有理数的平方都不等于2。例6、解方程1}{2][xx【巩固性练习】1．满足baba的条件是（）A．0abB．1abC．0abD．1ab2．、设表示不超过的最大整数，则下列各式中正确的是（）A．nn][B．1][nnC．1][nnD．nn][3．已知x是实数，则1xxx的值是（）A．11B．11C．11D．无法确定4．代数式21xxx的最小值（）A．0B．21C．1D．不存在的5．如果dcba,,,是四个互不相等的实数，且1bdcbca，那么da46．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121；同样∵1112=12321，∴11112321；…由此猜想76543211234567898．7．已知为非零实数，且0cba，则acaccbcbbaba8．证明：212222111个个nn是一个有理数9．已知是无理数，证明：对任意整数k，数k2都是无理数10．正整数n小于100，并且满足等式nnnn]6[]3[]2[，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有多少个？11．已知a、b是有理数，且032091412)12341()2331(ba，求a、b的值．12．设x为一实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x的值．513．若实数a、b满足032)2(2abba，求2b+a－1的值．14．设x、y都是有理数，且满足方程04)231()321(yx，求x－y的值．15．阅读下面材料，并解答问题：在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果ab=N(a0，a≠1，N0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．例如：因为23=8，所以log28=3；因为81)21(3，所以21log（81）=3．根据定义计算：①log381=；②log33=；③如果logx16=4，那么x=．67