任意角的三角函数及基本公式

1/7第18讲任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4.掌握正弦、余弦的诱导公式。任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。⑵射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。2．弧度制⑴等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度”作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。注意：1sin表示1弧度角的正弦，2sin表示2弧度角的正弦，它们与1sin、2sin不是神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！一回事。⑵一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。⑶设一个角的弧度数为，则rl（l为这角所对的弧长，r为半径）。⑷所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。⑸1801弧度，1弧度)180(。度0º30º45º60º90º180º270º360º弧度06432232⑹弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，扇形面积为S，圆心角大小为弧度，半径为r，则rl，22121rlrS。3．角的集合表示⑴终边相同的角设表示所有终边与角终边相同的角（始边也相同），则360k（也可记为k2Zk）。⑵区域角介于某两条终边间的角叫做区域角。例如3036060360kk（也可记为3262kkZk）。⑶象限角以角的顶点为原点，以其始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。例．已知x在第二象限，问2x在哪一象限？解：∵kxk222，∴224kxk，当k为偶数时，2x在第一象限；当k为奇数时，2x在第三象限。点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。例．ABC中，已知178cosA，53sinB,(A、B是锐角,)求C角。分析：A、B是锐角,故C角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过Csin去求C角是无法确定C角是锐角还是钝角的。所以应该求Ccos。解：1529.05317554178)cos()](180cos[cosBABAC，显然，C角在第一象限，约为2181。点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三3/7角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。4．三角函数的定义及符号⑴三角函数定义设角终边上一点P的坐标为（x，y）P与原点的距离为r（0r），那么下面的六个比值：yrxryxxyrxry、、、、、分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用符号表示为：rysin，xytan，cos1sec，rxcos，yxcot，sin1csc。⑵各三角函数在各象限的符号如下图：csc,sinsec,coscot,tan符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。注意：①由2cos1sin求sin时，应该由所在的象限来确定sin的符号。②去掉2cos的根号时，如果0cos，应写为-cos。⑶终边相同的同一三角函数的值相等。即)()2(fkf（Jk，)(xf为三角函数）。⑷三角函数线（以第一象限角为例）正弦线余弦线正切线余切线例．确定16cos15cos的符号。解：画出单位圆，用线段把15cos和16cos表示出来，图中线段15cosOA，16cosOB，显然，16cos15cos，∴016cos15cos。5．同角三角函数的关系⑴倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan。⑵商数关系：cossintan，sincoscot，⑶平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1。6．三角函数的诱导公式以180º或360º作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：sin)180sin(。以90º或270º作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：cos)90sin(。诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵”指以纵轴作为基准。）利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。如果有必要（例如在做证明题时），可以利用cscsin与，seccos与，ctgtg与互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45º角的三角函数。5/71．是第二象限角，其终边上一点)5,(xP，且x42cos，则sin的值为（）A.410；B.46；C.42；D.-410。2．已知锐角终边上一点A的坐标为（23sin，-23cos），则角的弧度数为（）A.3；B.-3；C.23；D.32。3．已知k100tan，则80sin的值等于（）A.21kk；B.21kk；C.kk21；D.kk21。4．若1cot1sintan1cos22，则在（）A.第一象限；B.第二象限；C.第三象限；D.第四象限。5．设cossint且0cossin33，则t的取值范围是（）A.)0,2[；B.),3()0,3(；C.)2,1()0,1(；D.)2,2[。6．设、是0到360间的角，如果sinsin，那么与之间的关系如何？7．确定下列各式的符号：⑴140cos140sin；⑵310300ctgctg。8．化简：sin1sin1sin1sin1。能力测试认真完成！12345678角的定义√√√弧度制√角的集合表示三角函数的定义及符号√√√同角三角函数的关系√√√三角函数的诱导公式√√1．是第二象限角，其终边上一点)5,(xP，且x42cos，则sin的值为（）A.410；B.46；C.42；D.-410。解：∵rxx42cos，∴22x，∴410225sin，故应选A。2．已知锐角终边上一点A的坐标为（23sin，-23cos），则角的弧度数为（）A.3；B.-3；C.23；D.32。解：∵)23tan()32tan(3cot3sin23cos2tan，故应选C。3．已知k100tan，则80sin的值等于（）A.21kk；B.21kk；C.kk21；D.kk21。解：∵k100tan)100180tan(80tan，而080tan，∴0k，∴k180tan180cot，∴2221)1(1180cot1180csc180sinkkk，故应选B。4．若1cot1sintan1cos22，则在（）A.第一象限；B.第二象限；C.第三象限；D.第四象限。解：题给条件可化为1sinsincoscos，则0sin，0cos，故应选C。5．设cossint且0cossin33，则t的取值范围是（）A.)0,2[；B.),3()0,3(；C.)2,1()0,1(；D.)2,2[。解：)coscossin)(sincos(sincossin2233]cos43)cos21)[(sincos(sin22而0cossin33，0cos43)cos21(sin22，∴0cossin，故应选A。6．设、是0到360间的角，如果sinsin，那么与之间的关系如何？参考答案仔细核对！7/7解：或或3。解题错误：遗漏3。7．确定下列各式的符号：⑴140cos140sin；⑵310300ctgctg。解：⑴0140cos140sin；⑵0310300ctgctg。8．化简：sin1sin1sin1sin1。解：原式cossin2cossin1cossin1sin1)sin1(sin1)sin1(2222，当在Ⅰ、Ⅳ象限时，原式tg2；当在Ⅱ、Ⅲ象限时，原式tg2。解题错误：没有分象限进行讨论，直接使coscos2。