一元二次方程题型归纳

第1页一元二次方程的解法1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。方法适合方程类型注意事项直接开平方法（x+a）2=bb≥0时有解，b0时无解。配方法X2+px+q=0二次项系数若不为1，必须先系数化为1，再进行配方。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。公式法Ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac≥0时，方程有解；b2-4ac0时，方程无解。先化为一般形式再用公式1.用直接开平方法解一元二次方程直接开平方法适用于解形如(x+h)2=m的方程（1）2x－16＝0（2）162x－1＝0（3）252x－16＝0（4）42x－25＝0（1）(1－x)2=1（2）(1+x)2－2=0（3）(2x+1)2+3=0（4）x2－2x+1=4.2．配方法的一般步骤是：牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”．（1）方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．第2页（2）用配方法解下列方程：例题：3x2-6x+4=0⑴x2-10x+24=0⑵x2-8x+15=0⑶x2+2x-99=0⑷y2+5y+2=0；（5）x2-8x+1=0（6）x2+10x+9=0（7）x2-x-47=0（8）4x2-6x-3=0（9）3x2+6x-4=0（10）2x2+1=3x（11）x2+4x-9=2x-11（12）x(x+4)=8x+123、用因式分解法解方程因式分解法的步骤是：①方程右边化为0，②左边化为两个因式的积，③每一个因式等于0，④解这两个一元一次方程。（1）1002xx（2）42222()()xx（3）2x＋3x＋2＝0（4）2x－8x＋15＝0（5）2x＋4x－21＝0（6）22x＋9x＋7＝0(7)－2x＋2x＋63＝0(8)－2x－3x＋54＝0用十字相乘法解下列一元二次方程第3页（1）2x＋3x＋2＝0（2）2x－13x＋36＝0（3）2x－7x=18（4）32x＋11x－20＝0（5）2x＋18x＋81＝04、用因式分解法解方程（通用的方法）用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝aacbb242(b2－4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。Δ0时，方程有两个不相等的实数根。Δ=0时，方程有两个相等的实数根。Δ0时，方程没有实数根。例1：把方程(x+3)(3x－4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。练习1：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．(1)2x2＝3x＋5(2)(x＋1)(x－1)＝1(3)(x＋2)2－4＝0（4）x＋1）2-2（x-1）＝6x-5（5）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2（6）（x＋3）（x-4）＝-6例2：不解方程，判断下列方程的根的情况：2x2+3x-4=0第4页练习2：不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)22310xx(2)24912yy(3)25(3)60xx练习3：用公式法解下列方程：(1)x2－2x＋1＝0(2)x(x＋8)＝16(3)x2－35x＝2(4)0．8x2＋x＝0．3(5)4x2－1＝0(6)x2＝7x(7)3x2＋1＝23x(8)12x2＋7x＋1＝0一元二次方程根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．第5页1．请完成下面的表格：2、不解方程，求下列方程两根的和与积①0132xx②05322xx③xxx2235④01)2(xx【例1】3、已知方程022cxx的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。跟踪练习：1、已知方程032cxx的一个根是2，求另一个根及c的值。2、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值3、已知关于x的方程221(1)104xkxk，如果方程两实根的积为5，求出k的值．【例2】已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值跟踪练习：1、若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．方程一次项系数常数项两根1x、2x的值两根的和21xx两根的积21xx1x2x0322xx2560xx221(2)(3)1(1)第6页一元二次方程测试一、选择题1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）（A）12132xx（B）02112xx（C）02cbxax（D）1222xxx2、已知3是关于x的方程012342ax的一个解，则2a的值是（）（A）11（B）12（C）13（D）143、关于x的一元二次方程02kx有实数根，则（）（A）k＜0（B）k＞0（C）k≥0（D）k≤04、已知x、y是实数，若0xy，则下列说法正确的是（）（A）x一定是0（B）y一定是0（C）0x或0y（D）0x且0y5、若12x与12x互为倒数，则实数x为（）（A）±21（B）±1（C）±22（D）±26、若方程02cbxax)0(a中，cba,,满足0cba和0cba，则方程的根是（）（A）1，0（B）-1，0（C）1，-1（D）无法确定7、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为()（A）22()24ppx（B）224()24ppqx（C）224()24ppqx（D）224()24pqpx第7页8、使分式2561xxx的值等于零的x是（)（A）6（B）-1或6（C）-1（D）-6二、填空题9、把一元二次方程4)3(2x化为一般形式为：，二次项为：，一次项系数为：，常数项为：。10写出一个一根为2的一元二次方程______________。11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：(1)4x2=5，应选用法；(2)2x2-3x-3=0，用选用法。12、方程0162x的根是;方程0)2)(1(xx的根是。13、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1，则k=,另一根为。14、xx32x(2)。15、一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则2212xx＝_______。三、解答题（4×7=28）16、解方程（1）x2＝49（直接开平方法）（2）9)12(2x（直接开平方法）（3）0432xx（用配方法）（4）)4(5)4(2xx（因式分解法）（5）x(x＋8)＝16（公式法）第8页一、题号12345678答案ACDCCCBA二、9、把一元二次方程73化为一般形式为：2650xx，二次项为：2x，次项系数为：-6，常数项为：5。10写出一个一根为2的一元二次方程__略___。11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：(1)4x2=5，应选用开平方法；(2)2x2-3x-3=0，用选用公式法。12、方程0162x的根是124,4xx;方程0)2)(1(xx的根是122,1xx。13、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1，则k=4,另一根为-3。14、xx3294x(322)。15、一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1－2x2＝___0___。。三、解答题26、解方程（1）7（2）2，-1（3）-4，1（4）-4，1