高数知识问答

第一章函数与极限问答题1．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。答：这几个概念是微积分学的基础。连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。2．无界函数与无穷大的区别是什么？答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。例如x与sinx的乘积当x趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于的)。3．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证0uu，如果该条件不成立，原来的计算结论会不成立吗？答：对于由)(ufy与)(xgu构成的复合函数)]([xgfy，如果函数)(uf在0uu处连续，那么0)(uxg时结论仍成立，否则可能不成立。例如)sgn()(uuf，当0u时极限为1；但是如果)(xg为常函数0，则当0x时,u当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。4．数列极限存在准则中的条件),3,2,1(nzxynnn是否可以改为：N，当Nn时，nnnzxy。为什么？答：可以。因为数列极限研究的是n时的趋势，与前面有限项的大小无关。换句话说，去掉前面不符合nnnzxy的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。5．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。答：不一定。正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。例如21)1(21lim21lim21lim22222nnnnnnnnnnnn这里是无限个无穷小的和等于216．利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？答：（1）xx~sin（2）xx~tan（3）xx~arcsin（4）xx~arctan（5）xx~)1ln(（6）xex~1（7）axaxln~1（8）221~cos1xx（9）xx21~11（10）xx~1)1(7．如何理解研究0x是否)(xf间断点必须以)(xf在点0x的某去心邻域内有定义为前提？答：如果)(xf在0x的附近没有定义，那么研究函数在0x处是否间断或连续就失去了意义。比如在2x及附近无定义，我们不能说2x是函数的间断点，当然也不能说2x是函数的连续点，本来在这一点就没必要研究这个问题。8．函数的定义域与定义区间是什么关系？答：定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。9．试列举一些计算极限的方法。(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限(2)利用函数的连续性求极限；(3)利用极限的四则运算求极限；(4)利用无穷小的性质求极限；(5)利用两个重要极限求极限；(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。10．什么叫渐近线？一般来说函数有几种渐近线，如何求？答：是一条直线且与给定曲线在某个极限过程中足够靠近。曲线的渐近线有三种，（1）水平渐近线（2）铅直渐近线（3）斜渐近线求法：（1）设常数）()(limbxfx，则by是水平渐进线。（2）设)(limxfax，则ax是铅直渐进线。（3）如果0)(limxxfax存在，说明曲线有斜渐近线，进一步求得])([limaxxfbx，则baxy是曲线的斜渐近线。第二章导数与微分问答一、问题1xf在0x点的导数定义是什么？20xf的数学意义是什么？30xf的几何意义是什么？4设质点沿直线运动的位置函数为ts，则0ts表示什么？5求0xf的方法有几种？各是什么？每种方法如何运用？6设xysin，因为224y，所以0224y，上述做法对不对？若不正确请指出错误的原因。7函数xf在0x点可导与xf在0x连续是什么关系？8若xf在0x点不可导，曲线xfy在点00xfx，处是否一定无切线？9函数xf和xg的四则运算求导法则成立的前提是什么？10如何求yfx反函数的导数？11复合函数xgfy的求导法则是什么？应用时需注意什么？12初等函数的求导问题是否已经解决？初等函数在其定义域内每一点是否都可导？134sin如何求？100sin如何求？14设xxy2sin2，如何求y的100阶导函数？15方程0yxF，确定隐函数xyy如何求导？求导时注意什么？16幂指函数如何求导？17参数方程tytx确定的函数如何求导？求二阶导时需注意什么？18什么是函数xfy在0x处的微分？如何求dy？19函数xfy在一点可微与可导的关系是什么？20微分的几何意义是什么？二、解答1设xfy在0xU内有定义，当自变量x在0x处取得增量x00xUxx时，相应地函数取得增量00xfxxfy；若xyx0lim存在，则称函数xfy在点0x处可导，并称这个极限为函数xfy在点0x处的导数。注意：10xf是函数xfy在0x处当自变量有微小的增量x时，相应的函数增量y与x比，当0x时的极限。因而0xf不仅与xf在0x的函数值有关，而且与xf在0xU的函数状态有关。2由于自变量增量表示呈多样性，0xf定义的数学表达式呈多样性。如当自变量增量为h时，hxfhxfxfh0000lim当自变量增量为0xx时，0000limxxxfxfxfxx当自变量增量为x5时，xxfxxfxfx55lim00002xxfxxfxy00表示xf在区间xxx00，或00xxx，上的平均变化率，所以0xf表示xf在0x处的变化率。即：在0x处当自变量有相同的微小改变时，导数越大的函数，函数值的改变越大。30xf的几何意义：0xf是曲线xfy在点00xfx，处的切线斜率。40ts表示质点在0t时刻的速度。5两种方法：（1）利用导数定义。（2）利用00xxxfxf通常在下列3种情况下利用导数定义求函数在一点的导数：（1）求分段函数在分段点的导数（2）只知抽象函数在一点的信息，求此抽象函数在该点的导数（3）利用00xxxfxf可求，但比较麻烦或比较困难，而用导数定义比较容易通常在下列情况下利用00xxxfxf求函数在一点的导数：xf的导函数存在，且可以通过求导公式及求导法则可求出其导函。6此做法是错误的。因为4y不仅与xysin在4x的函数值有关，而且与xysin在4U的函数值有关。正确做法为：224cossin44xxy7xf在0x处可导必有xf在0x处连续；反之，xf在0x处连续，却不一定有xf在0x处可导。8xf在0x点不可导，曲线xfy在点00xfx，处不一定无切线。例：函数31xy在0x处不可导，但曲线31xy在点00，有垂直于x轴的切线。9xf与xg的四则运算求导法则成立的前提是：xf、xg都存在。10当yfx在区间yI内单调、可导且0yf时，它的反函数xfy1在区间yxIyyfxxI，内也可导，且xffyfxf1111。11设xgfy的外层函数为ufy，里层函数为xgu，则复合函数的求导法则是xgufyxgu。使用该法则需注意：1。正确选择复合函数的外层函数及里层函数。2。正确理解xgfxgfxgf、、的含义。12由初等函数定义知：当我们研究出基本初等函数求导公式、函数的四则运算求导公式及复合函数求导公式后，初等函数的求导问题就已经解决了。但是初等函数在其定义域内并不是每一点都可导。例：函数31xy，定义域为，，但它在0x点处不可导。13一般来说，求xf的高阶导要视所求的阶数选定方法。当求导的阶数不高时（如求2、3、4、5阶导），通常选用先求一阶、再求二阶，这种一阶一阶向上求，直至求到所求阶导数的方法。当求导的阶数较高时（超过5、6阶），通常选用从求一阶导数开始，依次求至5或6阶导数，从中寻找规律，从而得到函数的求高阶导公式（通常用数学归纳法证明其正确性）。因而求4sin时用如下方法：xxycossin）（，xxysincos）（，xxycossin）（，xxysincos4）（）（。所以0sin44xyy）（）（求100sin时用如下方法：）（）（2sincossinxxxy22sin2cos2sinxxxy）（）（）（23sin22cos22sinxxxy）（）（）（）（24sin23cos23sin4xxxy）（）（2sinnxyn所以02100sinsin100）（）（）（14xgxfy求较高阶导数用莱布尼茨求高阶导数公式kknnkknnvuCuv0。在使用公式过程中，通常选求几阶导数后先成为零函数的函数为v。就本题而言选xuxv2sin2，比较好。3022kvvvxvk，，22sin2222sin222sin22nxuxuxunn，，，10022sinxxvuCvuCvuC98210099110010001002982sin22991002992sin210021002sin298992100xxxx！xxxx2sin299002cos21002sin297992100。15方程0yxF，确定的隐函数xyy求导有两种方法：1从方程中将隐函数xyy求解出来（即隐函数显化），求y。但隐函数不一定总能被显化或显化不容易，因而这种方法不是通用方法。2将隐函数xyy代入方程后，方程两端同时对x求导。使用此种方法时需注意：虽然将xyy代入了方程，但我们仍然用y来表示xy。因而方程两端同时对x求导时，遇见含有y的项要注意y是x的函数，即：xyy。16幂指函数求导通常有两种方法：（1）对数求导法：设xvxuy，两端取对数得方程：xuxvylnln方程对x求导得uuvuvyyln，因而uuvuvuyvln（2）指数求导法：设xvxuy，将y化成指数函数uveyln，则uuvuvuuveyvuvlnlnln。17参数方程，，tytx确定函数xyy求一阶导公式ttdxdy，求二阶导公式tttdtddxyd122。参数方程求二阶导时，由于xyy的一阶导是用参数t表示的，因而在求其二阶导时，要将xy视为以tt为外层函数，xtt为里层函数的复合函数。18设xfy在某0xU内有定义，如果自变量x有微小的改变量x变到