一元二次方程-韦达定理的应用及答案

一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当△0时________方程_____________，当△=0时_________方程有_______________，当△0时_________方程___________.韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数例1.关于x的一元二次方程2223840xmxmm.求证：当m2时,原方程永远有两个实数根.例2.已知关于x的方程22(1)10kxxxk有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.例3.已知关于x的方程222(3)410xkxkk(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k的值;例4.已知关于x的一元二次方程21(2)302xmxm(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根12,xx满足1221xxm，求m的值。例5.当m为何值时，方程28(1)70xmxm的两根：(1)均为正数;(2)均为负数;(3)一个正数，一个负数;(4)一根为零;(5)互为倒数;(6)都大于2.例6.已知a,b,c,是△ABC的三边长，且关于x的方程22(1)2(1)0bxaxcx有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。例7.若n0，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的正的实数根，求mn的值。课堂练习：1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.2210xxB.22220xxC.2210xxD.220xx2.已知12,xx是方程2310xx的两个根，则1211xx的值是（）A.3B.-3CC.13D.13.关于x的二次方程22(1)230mxxmm的一个根为0，则m的值为（）A.1B.-3C.1或－3D.不等于1的实数4.方程22(25)(2)0xkxk的两根互为相反数，k的值为（）A.k=5或-5B.k=5C.k=-5D.以上都不对5.若方程240xmx的两根之差的平方为48，则m的值为（）A.±8B.8C.-8D.±46.已知关于x的方程210(3)70xmxm，若有一个根为0，则m=________，这时方程的另一个根是________；若两根之和为35，则m=_______，这时方程的两个根为____________7.已知方程210xpx的一个根为25，可求得p=_______8.若23是关于x的方程2280xxk的一个根，则另一个根为_____，k=_____。9.方程22650xx两根为α，β，则222______,()=______。10.要使2469nna与3na是同类项，则n=______________11.解下列方程：(1)2(21)16x(2)2430xx(3)25320xx12.关于x的方程2(21)(3)0axaxa有实数根，求a的取值范围。13.设12,xx是方程22410xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)12(1)(1)xx；(2)1221xxxx；(3)2212xx.14.关于x的方程2(21)(3)0xaxa，试说明无论a为任何实数，方程总有两个不等实数根。15.已知关于x的方程222(1)3110xmxm，（1）m为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）是否存在实数m，使方程的两根1221+1xxxx?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。16.关于x一元二次方程2()2()0cbxbaxab有两个相等的实数根,其中a,b,c是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。17.已知Rt△ABC中，两直角边长为方程2(27)4(2)0xmxmm的两根，且斜边长为13，求SABC的值.韦达定理的应用测试题日期：_______月________日满分：_________100分姓名：______得分：__________1.关于x的方程2210axx中，如果a0，那么根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2.将方程2410xx的左边变成平方的形式是()A.2(2)1xB.2(2)1xC.(x-2)2=5D.2(2)5x3.设12,xx是方程222630xx的两根，则2212xx的值是（）A.15B.12C.6D.34.已知x方程20(0)mxnxkm有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）A.240nmk240nmkC.240nmkD.240nmk5.若关于x的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A.k1B.k≠0C.k0D.k1且k≠06.关于x的方程2(2)210axaxa有两个不相等的实数根，a的值为（）A.a-2B.-2a2C.a-2且a≠2D.a≥-2且a≠27.设n为方程20(0)xmxnn的一个根，则mn等于________8.如果一元二次方程2240xxk有两个相等的实数根，那么k=_______9.如果关于x的方程222(41)210xkxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_______10.已知12,xx是方程2520xx的两根，则：(1)12xx=________；(2)12xx==________；(3)212()xx=________11.解下列一元二次方程：(1)22310xx(2)27430xx(3)2620xx12.已知关于x的方程22(1)10xmxm的一个根为4，求m值及此方程的另一个根。13.已知：关于x的一元二次方程222(23)41480xmxmm，若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根。14.若规定两数a,b通过“※”运算,得到4ab,即a※b=4ab.例如2※6=4×2×6=48.(1)求3※5的值；(2)求x※x+2※x-2※4=0中x的值。15.求证：不论k取什么实数，方程2(6)4(3)0xkxk一定有两个不相等的实数根.一元二次方程韦达定理的应用参考答案知识点：一元二次方程根的判别式：当△0时240bac方程有两个不相等的实数根，当△=0时240bac方程有有两个相等的实数根，当△0时240bac方程没有实数根.韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数例1.关于x的一元二次方程2223840xmxmm.求证：当m2时,原方程永远有两个实数根.分析：224(2)41(84)bacmm配方法论证例2.已知关于x的方程22(1)10kxkxk有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.（1）13k且0k（2）不存在，k=-1时无实数根例3.已知关于x的方程222(3)410xkxkk(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k的值;(1)k≤5（2）33k例4.已知关于x的一元二次方程21(2)302xmxm(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根12,xx满足1221xxm，求m的值。（1）222214(2)4(3)616(3)702bacmmmmm（2）121121221xxxxxxmm，121xm121xm，代入方程求m的值，12120,17mm例5.当m为何值时，方程28(1)70xmxm的两根：(2)均为正数;(2)均为负数;(3)一个正数，一个负数;(4)一根为零;(5)互为倒数;(6)都大于2.分析：224(1)48(7)0bacmm两根之和和两根之积去判断。例6.已知a,b,c,是△ABC的三边长，且关于x的方程22(1)2(1)0bxaxcx有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。证明：22444()()0bacabcbc222acb例7.若n0，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的正的实数根，求mn的值。分析：2(2)()(4)0mnmnmnmn1,4mn课堂练习：1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（C）A.2210xxB.22220xxC.2210xxD.220xx2.已知12,xx是方程2310xx的两个根，则1211xx的值是（A）A.3B.-3CC.13D.13.关于x的二次方程22(1)230mxxmm的一个根为0，则m的值为（B）A.1B.-3C.1或－3D.不等于1的实数4.方程22(25)(2)0xkxk的两根互为相反数，k的值为（C）A.k=5或-5B.k=5C.k=-5D.以上都不对5.若方程240xmx的两根之差的平方为48，则m的值为（A）A.±8B.8C.-8D.±46.已知关于x的方程210(3)70xmxm，若有一个根为0，则m=__7______，这时方程的另一个根是__0__；若两根之和为35，则m=_-9_,这时方程的两个根为____________7.已知方程210xpx的一个根为25，可求得p=__128,15xx_____8.若23是关于x的方程2280xxk的一个根，则另一个根为23，k=__2___。9.方程22650xx两根为α，β，则222__14_,()=__19____。10.要使2469nna与3na是同类项，则n=___2或3____11.解下列方程：(1)2(21)16x(2)2430xx(3)25320xx1253,22xx121,3xx122,15xx12.关于x的方程2(21)(3)0axaxa有实数根，求a的取值范围。18a且0a13.设12,xx是方程22410xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)12(1)(1)xx；(2)1221xxxx；(3)2212xx.（1）72(2)6(3)314.关于x的方程2(21)(3)0xaxa，试说明无论a为任何实数，方程总有两个不等实数根。分析：22(21)4(3)411aaa15.已知关于x的方程222(1)3110xmxm，（1）m为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）是否存在实数m，使方程的两根1221+1xxxx?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。(1)2224(1)4(311)88480mmmm，122,3mm（2）221121212()21xxxxxxxx，可得23470mm，解得17,13mm16.关于x一元二次方程2()2()0cbxbaxab有两个相等的实数根,其中a,b,c是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。解答：24()4()()4()