23.3.2直角三角形中的成比例线段(射影定理)

原来学好数学，一点都不难！相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．用几何语言表示如下：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'CAA'BB'C'CADB“母子相似定理”直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。如图，.,90ABCDCABC中，由母子相似定理，得∽ADCACB推出：CADABCCDABAC所以：DAABAC2CADB同理，得：CDB∽DBABCBABCBCBDBACCDACB2ACD∽ADBDCDCDADBDCDCBACCBD2直角三角形中的成比例线段CADBDBADCD2ABADAC2ABBDBC2CADB是高，则有中，在CDABCRtAC是AD,AB的比例中项。BC是BD,AB的比例中项。CD是BD,AD的比例中项。那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段留在MN上的影子是什么？A’定义：过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在直线l上的正射影，简称射影。ABA’B’lAMN.BB’各种线段在直线上的射影的情况：ABA’B’lAA’B’BllAA’BB’如图,CD是的斜边AB的高线ABCRt这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上的高AD是直角边AC在斜边AB上的射影,BD是直角边BC在斜边AB上的射影。CADBABADAC2ABBDBC2DBADCD2由复习得：CADB用文字如何叙述？直角三角形中的成比例线段ABADAC2DBADCD2ABBDBC2CADB1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;CADB具体题目运用：ACBCCDAB根据应用选取相应的乘积式。ABADAC2ABBDBC2DBADCD2利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高CADB这里犯迷糊，可不行！如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。例1解:答:CD,AC,BC的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBCCEFFBCDF:,求证于∽例2.如图,在中,ABC,,EACDEDABCD于于.CBA分析:欲证CEF∽.CBA公共角ECFACB已具备条件找角,CEADFBCEFBCFEA或1.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156•如图中共有6条线段，已知任意2条，求其余线段。•运用射影定理时，注意前提条件直角三角形中的成比例线段CADB•求边注意联系方程与勾股定理(1)在中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条可求第三条.(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.你都弄懂了吗？ABCDEABABC【选择题】1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长.A、1B、2C、3D、43.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。ab射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。4如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。求证：CF·AC=CG·BC证明：∵CD⊥AB，DF⊥AC∴△CDF∽△CAD∴CF︰CD=CD︰AC∴CD2=CF·AC同理可证CD2=CG·BC∴CF·AC=CG·BC这节课的知识，你都听懂了吗？总结：1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.结束寄语•不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功!下课了!不要忘了哦！！直角三角形中的成比例线段