搜索
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt�rg(t)dt.(A)『(/-l)dt�『t2dt=气3(B)『ln(l+万）dt�rt令dt=气5(C)f工sint2dt�厂rt2dt�fc2dt=丘。。。3(D)J:-cosx/忒臣了dt-I-cosrtidt�I:''l令dt=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和p(x)在x=O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和p(x)分别是x的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt是x-0时的n(m+1)阶无穷小．。CA)rC/-1)dt,m=2,n=1,则n(m+1)=3.。ln(l+#)dt,m=立，n=1,则n(m+l)=立。22.CC)厂sint2dt,m=2,n=1,则n(m+1)=3.。1一cos,·3叫产t,m=一，n=2,则n(m+l)=5.。2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=limf(x)=0.工-o故应选(C).f(x)-f(O)=limf(x)j'(O)=Jim;-0X—0r•OXf(x)f(x)lim=lim——•X=j'(0)•0=0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f(x)={X3,X#0，则limf位）=o,且1,X=0J-0x3f(x)x3lim·f(x)=lim_。J了工-o�=O,lim一=lim—=022工-oXr--0X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X=0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)=x,则limf(x)=0,且f(x)在x=O处可导，但J-0•5•叫2020年考研数学一真题解析排除CD)'故应选CC).(3)【答案】Af(x)X1lim2=lim2=lim-#-0,·-·OX.r-0X.r-·•OX【解析】利用函数z=.I一位，y)在(x。,Yo)处可微的充要条件Jim幻-J'.心X-J:t:,y=Q.汇�,Jt:,x2+t:,yZ因为f(x,y)在(0,0)处可微，则f(x,y)—Bf(O,O)r7f(O,O):r－yaxayJim=0,-酝。_y-•O妇2+y2of(O,O)of(O,O)而n•(x,y,f(x,y))=x+y-f釭，y).杠ay有limn•(x,y,f位，y))=O,即JimIn•(x,y,f丘y))l=O..r-Q.T伽。,Jxz+yz户°y-0正确答案选CA).(4)【答案】A,,/x2+y2［解析】由阿贝尔定理，当IrlR时,I:a,,r收敛，进而，级数:釭，产收敛．=I=所以，当互沁.,rz发散时，IrI?:,R.答案选CA).,,=!【评注】解析中用到了原命题成立时，它的逆否命题一定成立．(5)【答案】Bn-1【解析】矩阵A经初等列变换得到B,故存在初等矩阵P,(i=1,2,…，t)使AP1P2…P,=B因P,均可逆，故有A=BP,I…1'21ril'记p=1�尸…P了P尸故应选CB).(6)【答案】c【解析】由直线标准方程知I八心的方向向掀分别是a1=(a1,b1,c1)T,az=(az,bz,Cz)T,直线Ia1,az,冠I=oL1,L2分别经过A(a2,优，Cz),B(a3,仇，C3)两点．于是L1,匕交于一点已{'即有a1,az不平行a1a2a3-a2Ia1,a2,商I=b1b2b3-h2=Ia1,a2,a3I=0C1CzC:i-Cz于是a1,az,a3线性相关且a1,az线性无关．从而U3必可由a1,a2线性表示．(7)【答案】D【解析】儿B,C中恰有一个事件发生即CAUBUC)—CABUBCUAC).因为P(AB)=趴故P(ABC)=0,所以恰有一个事件发生可以只考虑CAUBUC)-CBCUAC)的概率PCCAUBLJC)-(BCUAC))=PCA)....LP(B)+PCC)—PCBC)-PCAC)-P(BC)-P(AC)11l11l15=-+—....L—----———--=—44I4]212121212答案选CD).(8)【答案】B【解析】:厂-+EX�上,DX�上X,独立同分布，方差存在，根据中心极限定理p了了24•6•fx,近似服从正态分布N(100X;=1112-,100X4一，即N(50,25).）100｀《5}�p{气;50,s;;55三0}�..(三o)�中(I)答案选(B).二、填空题(9)【答案】-1【解析】1Jim[—--1ln(l+x)-(er-1)工--oe工-1lnO+x)]=i,四(e-l)lnO+x)1lnO+x)-e'+11+x-e-'=Jim2=Jim,._.ox,--oZx=lim心一会。(10)【答案】—迈【解析】1少=y'(t)=五言lI＝dxx(t)tt'v1fTT1--e工(1+x)22=-1d2y1dt豆＝（－了肛＝（－了）.t=-1v'1+t2v'1+t2则琴r=I=-控．(11)【答案】n+aml3厂f(x)dx=-厂[f'(x)+af'(x)]dx=-J'(x)厂-af(x)尸。。。。【解析】只需求出J'(十=)=丿：巴J'(x)及f(十=)=I�巴f(x)即可．微分方程的特征方程为入2+a)..+l=O入1,2=—a土Jc!-=了I2当aZ时，入I,A2为两负实根，f位）=C1e'•工+C2e甲，当a=Z时，入1=入2=-1,/(x)=CC1+C2x)e—r'v'4=?v'4=?－和当OaZ时，入1,2=(c1cos工+C2sinx)e22.不论如上哪种情形，均有f(十,I=)=limf(x)=o,f'+=)=limf(x)=0.因而工-+oo.r-十OO厂厂+oo+oo0f(x)釭＝－。[/'(x)+af'(x)]dx=-f'(x)lo-af(x)lo=f'(0)+af(0)=n+am.(12)【答案】4e【解析】a2ff(x,y)有二阶连续偏导，利用一一－＝—一－a2f3或yayax·aJ-=xe,(.ryl.ay•7•2叮扫x所求主勹＝主LI·=4e.OXOyCJ.I)0戒X(I、!)(13)【答案】矿(a1-4)=e.r'/+xex/•3归【解析】由行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到2列，4列的—1倍加到3列aO-llaaOOa0000a1-10al-10a2-1—11a＝O—11aO=-12a01-10aOOaaO00a2a2=a2aI=a2(a2—4)【评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o,…(14)【答案】2【解析】x�u(—牙号），Y=sinX,EX=0.Cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY=E(XY)=E(XsinX)=rxsinx·上dx=�ffxsinxdx---六三、解答题2=-(sin:r-:rcosx)I令=1-亢亢J:=3x2-y=011(15)【解】由{/得驻点为(0,0),(--几=24y2-X=06'12).可计算A=几=6x,B=几=-1,C=f�y=48y判别式t::,.=AC-B2=288xy-1.在(0,0)点处，!::,.=-1趴不是极值点；在尸上＝612）点处，t::,.=30且A1O,取极小值为I(上上）＝—16'12215·(16)【分析】挖去奇点(0,0汃用格林公式．【解】取L1:丘+yz=e2(e2足够小），方向为顺时针方向，则I=乎釭-y2dx+X+yzdy-§釭-Y2dx+x+y?.dyL+L14x2+y丘-l-y凸丘+y4:rz+y令P=4x-y、工+y4xz+yz,Q=4.甘+y2'计算得aQ抒-4x2-8xy+y2＝＝妇的(4:rz+yz)z崎因而I=0-2(4:r—y)dx+(:r+y)dy=了2dxdyELEJJ其中D1={(x,y)I4x2+y2�E勹．所以I=今XrcXe:X主=TC.E2o,(17)【分析】得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数．1n+-【解】由阿达玛公式p=lim生旦=lim-主=1.-·�a,,n-=n+l.•8•=幕级数2牛x的收敛半径R=上=1,所以，当IxI1时，�a,,x收敛．n-1Pn-1二。令S(x)=�a,,x,则,,-]===S'(x)=�na,,x'户i=�(n+l),,1a,汁1X+a1=�(n+歹)a,,x十1n-1n-1n-1====llnX上�anx十1=�na,,x十上�a,,x+l=x心)'+22n-1n-1n-1n-1ls'(x)11即S1(x)=xS'(x)+—S(x)+1=-•—一一．2'S(x)+221-x1InIS(x)+2I=——InI1-x曰InC,2C1士CiISCx)+21=,S(x)+2=二二．亦是S(x)+2=C厂由S(O)=0得C=2,所求和函数为S(x)=-2.2厂(18)【分析】利用投影轮换法．【解】，X曲面�:Z=/2二了的法向量n={zx,z:,-1}={'y,—l立立｝』贝tlI={P,Q,R}·{-zx,—z:,1}dxdy:!;=If[_x(汀(xy)+2x-y)_y(yf(xy)+2y+x)],Jx2+v2,Jxz+v2＋寸(xy)+zdxdy＝』［－，二巧(xy)—2左二了三f(xy)+习dxdy=II左杠dyCD:1�x2+y2�4)＝厂叫:r•rdr=牛【评注】本题只给出j釭）连续，因而不能采取补曲面高斯公式计算．(19)【证明l(I设If(c)I=M.若cE(0,1],由拉格朗日定理知存在t;E(O,c),使J'(t;)=J(c)-f(O)f(c)＝、c-0C从而有IJ'�)I=-IJ(c)IM=-�M.CC若cE0,2],同理存在肛EO,2汃使从而有IJ'�)I=j'(�)=f(2)—f(c)=-f(c)2-c2—cIJc)IM=—一多M.2-c2-c综上所述，存在扣E(0,2),使得If'化）l�M.II)若cE[O,l),则•9•M=If(c)l=If(c)—f(O)I=Ij'(�)IC冬Mc由于O�c1,则M=0.同理，当cECl,2]时，也可得M=0.若C=1,且MOM=I/Cl)I=Iff'(x)dxI勹:I/'Cx)Icl工M矛盾，则M=O.原题得证．(20)【韶】CI)二次型J经正交变换X=Qy化为二次型g.记二次型f,g的矩阵分别是A和B.即A=[—\-/],n=勹勹因A�B,于是�a,;=�b,;,IAI=IBI,即{:-勹，:5,又因a�从故a=4,b=l.cII)对二次型f=式—4X1X2+4式和g=4贞+4劝Y2+Y�,只要令｛：；二�2�1'即[:.:J=[_\�][�:]Q=[o1]是正交矩阵合于所求．-10【评注】如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi=3s[_\�],经X=Q1z得XTAx=5叶类似构造正交矩阵Qz使yTBy=5云，即x=Q1z,y=Q2z有z=Q21Y,从而X=Q1Q21Y而得Q=Q1Q21亦可．(21)【解】cI)因a#-0且a不是A的特征向量．于是Aa#-ka,从而a与Aa不共线，即a,Aa线性无关，故P=(a,Aa)可逆．或（反证法）若P不可逆，有IPI=Ia,AaI=oa与Aa成比例，于是Aa=ka.又a#-0知a是A的特征向址与已知条件矛盾．([I)(万法一）由A飞+Aa-6a=0有A2a=6a—AaAP=A(a,Aa)=(Aa,A2a)=(Aa,妞—Aa)因P可逆，于是=(a,Aa)[061_iJ06P一!AP=I_}—l记B=[O6l而IIB-BI=入—6=入2土－1-1-1入+1，入6特征值2,3.于是A有2个不同特征值从而A可相似对角化．（方法二）因A2+A-6E=(A-2E)(A+3E)=(A+3E)(A-2E),由A2a+Aa—6a=O,即(A2+A—6E)a=O,于是(A-2E)(A+3E)a=0,即(A—2E)(Aa十3a)=O,即A(Aa十3a)=2(Aa十3a),•10•由a不是特征向量，有Aa、+3a-=I=0从而入=2是