数学分析反证法的应用论文

丽水学院2012届学生毕业论文数学分析中反证法的应用理学院数学082董泽刚指导师：胡亚红摘要：本文研究了数学分析中不同问题的反证法。对数学分析中的反证法进行总结研究，共分为数列极限的唯一性和收敛性，函数的连续、有界、极限和单调性，导数和积分，级数等四个部分，各部分之间并非完全独立。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。关键词：反证法；命题；应用在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的。反证法在数学的发展中功不可没。反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反证法是一种重要的数学技能。反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。至于反证法的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。1反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题BA逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题BA，显然这个等价命题的条件中含有命题BA的结论的否定B，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论.所谓反证法是指通过证明论题的否定论题不真实而肯定论题真实的方法.通常包括以下三个步骤:(l)反设—假定原命题的结论不成立；(2)归谬—根据反设进行严密推理，直到得出矛盾；(3)结论—肯定原命题正确。一般来说，如果命题的结论不易直接证明，结论的反面却容易否定，那么反证法是可行的。但是由于数学命题的多样性、复杂性，要对哪些命题丽水学院2012届学生毕业论文2宜用反证法做出确切的回答是困难的。2怎样正确写出数学分析中一些命题的否命题反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法,它是通过证明与论题相矛盾的反正题虚假,来确定论题是正确的间接证明法。在应用反证法时,首先要假设,即假定原命题的反面正确,然后从假设出发,利用正确的逻辑推理推导出谬误的结果,即从反设出发作为推论引出违背科学的基本规律(定律或概念)与已知条件相矛盾的结果,最后肯定原结论正确。在运用反证法论证命题时，首先要求能很正确的否定命题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到。例如命题“nnalimnnblim”的否定就是“nnnnbalimlim”，但对命题“f在D上有界”，尽管其否定很显然就是“f在D上无界”，若要用它做进一步推理时，还需要对函数有界与无界的定义深刻的认识，所谓“f在D上有界”是指“存在某个正数M，对所有的Dx，使得)(xfM成立”，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在”，要写出它们的否定形式相对就比较困难了.一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”时，其否定形式必须将“对所有的”变成“存在”，“存在”变成“对所有的”，并否定“这件事情发生”。于是，要将命题“f在D上有界”否定，其形式应为“对所有的正数M，存在Dx，使得Mxf)(成立”。在数列中的否定：一个数列{nx}收敛于a的数学表述为NnNN,0：|nx-a|,于是知道{nx}不收敛于a的数学表述为：NnNN,00：|nx-a|0,而对于函数的一致连续，例如，)(xf在X上一致连续的数学表述为：|)()(:|))(|,,0,0/////////xfxfxxXxx所以函数)(xf在X上不一致连续的数学表述为：0/////////0|)()(:|))(|,,0,0xfxfxxXxx在数学分析中，运用这种方法来否定一个命题是屡见不鲜的。由于在数学中经常用符号“”作为“对所有的”这些词的简写，用符号“”作为“存在”一词的简写，所以下面我们将用符号来说明：命题“Axfxx)(lim0”，丽水学院2012届学生毕业论文3即“Axfxxx)(,0,0,00有的满足：使得”。其否定形式为000)(,0,0,0Axfxxx有的满足”命题“f在I上一致连续”，即“)()(,,,,0,0212121xfxfxxIxx有只要使得”。其否定形式为“02121210)()(,,,,0,0xfxfxxIxx但尽管满足”具体命题的证明是培养各种思维能力的主要渠道，怎样的命题宜用反证法进行证明，这还需要不断的探索和总结。3数学分析中经常遇到的几类问题用反证法的证明要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的，还要在解题的证明中注意积累经验，总结规律，解决何时可以用这种方法来解决的问题，这有利于进一步加深对这种解题的方法实质的理解。下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型，举例说明反证法的应用。下面从数列的极限及收敛性；函数的极限、连续性、有界及单调性；导数及其积分以及级数中的命题结论的特征出发，辅之以具体例，介绍反证法的应用以及它的特点，证明简短而又有力。3.1数列的收敛性反证法的应用定义1.1设na为数列,a为定数，若对任何的正数ε，总存在正整数N，使得当Nn时有aan则称数列na收敛于a,定数a称为数列{an}的极限.若数列na没有极限，则称na不收敛，或称na为发散数列[3]。例1证明:收敛数列的极限是惟一的。证明假设BABxxnn,lim,Alimnn，则由数列极限的定义知:对0，总存在正整数21,NN，从使当nN时，有时2Axn，2Bxn令N=max{21,NN}，则当nN时，有22BxAxnn.丽水学院2012届学生毕业论文4由的任意性可知:A=B，矛盾，从而知收敛数列的极限是惟一的例2.证明命题“数列nx与ny均为发散数列，因而数列nnyx发散”是错误的.对于此类证明题，不妨寻找一个相反的梨子从反面论证起收敛如：取数列1，0，1，0，1，0，…及数列0，21，0，32，0，34，…显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是1，21，1，32，1，34，…它是一个收敛数列，因此命题是错误的由此可见某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛。在数列题型中，证明它们的极限的唯一或者是它们的极限等于某个确定的数时，在这些题型中，反证法有很大的优势，容易证明，过程明了简单，学者看了容易理解接受，如果这类题型直接去证明，难度就提高了一个档次。3.2函数的极限、连续性、有界以及单调性反证法的应用定义2.1设)(xf为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个Dx，有|)(|xfM，则称)(xf为D上的有界函数无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若0xx时，)(xf→∞，则)(xf在0x的每个邻域内必定无界。反之，函数)(xf在0x的任何邻域内都是无界的，但当0xx时,)(xf并不趋于无穷大。例3设xxxf1cos)(，则对无论多大的正数M，总有充分接近于x=0的点，使Mxx1cos丽水学院2012届学生毕业论文5证明取nx1，则nxx1cos，故当Mn时，就有Mxx1cos因此，函数)(xf在x=0的任何邻域内都是无界的然而，若取)21(1nxn，则当n→∞时,0nx，此时01cosnnxx即)(xf并不趋于无穷大例4试证明：若函数fx在有限区间ba,内可微，但无界，则其导函数)(xf也无界。证明设)(xf在ba,内有界，即MxfbaxM)(),,(,0有,取定),,(),,(0baxbax对由拉格朗日中值定理知,在0x与x之间存在，使得)()()()(00abMxxfxfxf，而)()()()()(00abMxfxfxfxf，故)()()(0abMxfxf，此与已知)(xf无界相矛盾，故)(xf无界例5设)(xf10100)(,0)(]1,0[dxxxfdxxfc，则]1,0[0x，使4)(0xf证明假设4)(0xf即]1,0[x有4)(0xf)1,0(t，1=dxxftx10)()(dxtxdxxftxdxxftdxxxf101010104)()()(=])()([401ttdxtxxt=)122(22tt令,04t,21t,24tt,12t2tt2又稳定点则4xf1,0x,121*211212100使矛盾，得代入因此4)(],1,0[0xfx使丽水学院2012届学生毕业论文6例6设函数f在ba,上连续，则f在ba,上有界证明假若f在ba,上没有上界，则n，必有],[baxn，使得Nxfn)(依次取....2.1n，便得一列含于ba,的数列}{nx因而它含有一个收敛子列{knx}设knkxlim，则],[ba，则f在ba,上连续可知)()(limfxfknk而由nx的选取方法有)()(kknxfknk，从而产生矛盾于是证得f在],[ba上有界.类似可证有下界故的f在],[ba上有界例7设)(xf在,0上满足函数方程)()2(xfxf,并且Axfx)(lim，证明Axf)(,),0(x。证明假设存在),0(0x，使得ABxf)(0，则由已知的函数方程推得：AxfxfxfxfBn)2()2()2()(002002,1n另一方面由于Axfx)(lim，则对于00BA，0X当Xx时，有0)(Axf，取足够大的n设Xxn02，此时应满足BAAxf0)2(导致出现矛盾的关系式BAAB于是证明了Axf)(,),0(x例8设函数)(xf在],[ba上连续，对],[ba上任意两个有理数)(,221rrrr，有)()(21rfrf，则f在],[ba上为递增函数。证明假设存在2121],,[,xxbaxx，但)()(21xfxf（即若)(xf不是单调递增函数）丽水学院2012届学生毕业论文7由于f的连续性，对于数)()(,2)()(2121xfcxfxfxfc必定存在212xx使得],(,)(),,[,)(2211xxxcxfxxxcxf因为有理数具有稠密性，故必存在有理数),[111xxr与)](,(21222rrxxr，且)()(21xfcxf这与假设)()(21rfrf相矛盾，所以)(xf在],[ba上为递增函数（且必为严格地增）例9函数)(xf在区间I上一致连续的充要条件是：Ixxnn}{},{，当0)(limnnnyx时，有0)}()({limnnnyfxf。证明必要性因为)(xf一致连续，故0,0当Iyxnn,时，有)()(nnnnyfxfyx在已知0)(limnnnyx时，对于0，N自然数，Nn必有)(nny