函数解析式的几种基本方法及例题

编辑版word求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。此法较适合简单题目。例1、（1）已知f(x+1)=x2+2x,求f(x)及f(x-2).（2）已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f（x）=x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3.（2）2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x2、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例2（1）已知xxxf2)1(，求)1(xf(2)如果).(,,)(xfxxxxf时，求则当1011解：（1）令1xt，则1t，2)1(txxxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x(2)设.)(,,,111111111xxftttftxtxt）（代入已知得则3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).编辑版word解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,则应有.)(1212102242222xxxfcbacaba四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例4设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组，得：xxxf323)(五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例5已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf例6、（分段函数)设f(x)=1,2xg(x)xx1111212,,xx求f[g(x)]的表达式.解：（对于分段函数的问题，应遵循“分段处理”的原则）当|2x+1|≤1即-1≤x≤0时，f[g(x)]=2|x|-2,当|2x+1|＞1即x＞0或x＜-1时，f[g(x)]=24412xx。编辑版word∴f[g(x)]=-1x0x0x1--2,|x|2或24412xx（三）、课堂练习：1、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)及f(x-2).(答案：f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15)2、已知f（x+1）=x+2x+1,求f(x)的解析式。（答案：f(x)=x2(x≥1)）3、已知f(x)为多项式，f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求f(x)的解析式。（答案：f(x)=x2-x+1)4、已知f(x)=2x+a,(x)=41(x2+3),且[f(x)]=x2+x+1,则a=.5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(xRxaxxfxaf且a为常数，且a≠1,求f(x)的解析式。解：∵af(x)+f(x1)=ax①将x换成x1，x1换成x得，af(x1)+f(x)=xa②由①、②得f(x)=).()()(01112222xRxxaaxaaxaax且.1)(1x1-x-41x)1()(62的取值范围的自变量求使得、设函数xxfxxf（答案：0≤x≤10或x≤-2)7、已知函数f(x)对任意正数m,n均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2)的值。（答案:f(2)=21)