多项式的因式分解

§1-5多项式的因式分解定理多项式44x在有理数域、实数域、复数域上的因式分解][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224xCixixxxxxRxxxxxQxxx（不能再分）（不能再分）在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(xPxf是的一个次数大于零的多项式，如果][)(xPxf在中只有平凡因式，就称f(x)为数域P上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若)(xf除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上（或在P[x]中）是可约的。如果不是平凡因式)(,)()()(xgxhxgxf，的次数显然和则)()(xhxg都小于)(xf的次数。反之，若)(xf能写成两个这样多项式的乘积，那么)(xf有引入课题初等数学中的因式分解,何为不能再分?非平凡因式；如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n的多项式的乘积和)()(xhxg即)()()(xhxgxf那么)(xf在P上可约。由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的。不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(xf不可约，那么P中任意不为零的元素c与)(xf的乘积c)(xf都不可约。2.设)(xf是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(xf与P(x)互素，或者)(xf整除P(x).3.如果多项式)(xf与)(xg的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。Theorem5.如果)(xp是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21xfxfxfs的乘积,那么)(xp一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1时,结论成立;当s=n时,令)()()()(),()(32211xfxfxfxgxfxgn,如果)(|)(),(|)(11xfxpxgxp则命题成立,如果1))(),((),(|)(11xgxpxgxp则,从而)(|)(2xgxp,即)(,),(),()(32xfxfxfxpn整除n-1多项式的乘积,由归纳法假设)(xp整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(nn次多项式)(xf都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21xpxpxpxfs所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121xqxqxqxpxpxpxfts那么，必有s=t，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(sixcqxpii标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121xpxpxcpxfsrsrr其中c是f(x)的首项系数，)(),(),(21xpxpxps是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而srrr,,21正整数。例1：在有理数域上分解多项式，22)(23xxxxf。)2)(1)(1()2)(1(22)(223xxxxxxxxxxf证明因式分解定理例2：求的典型分解式内在][122)(2345xQxxxxxxf。23242345)1()1()12)(1(122)(xxxxxxxxxxxf例3.求的典型内在][6141616102)(2345xRxxxxxxf分解式.)3()1)(1(2)(22xxxxf例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式15x和16x为不可约多项式的乘积。解:)1)(1()1(2345xxxxxxQ[x]][)154cos2)(152cos2)(1()1)(1()1(222345xRxxxxxxxxx][)52sin52cos()1()1)(1()1(412345xCkikxxxxxxxxk在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336xxxxxxxxx;在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336xxxxxxxxx;在C[x]上布置作业P45-15突出不同数域上不同多项式的因式分解的特点)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16ixixxixixxx多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+