函数的概念、表示、基本性质

必修1函数一、区间的概念这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.(a,b]半开半闭区间{x|ax≤b}[a,b)半开半闭区间{x|a≤xb}ab(a,b)开区间{x|axb}[a,b]闭区间{x|a≤x≤b}数轴表示符号名称定义ababab2、满足不等式的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号表示？[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，a]，(-∞，a).将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R？（-∞，+∞）二、函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.自变量的取值范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.1、在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？2、一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.理论迁移例1已知函数（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当a＞0时，求的值.1()32fxxx2(3),()3ff(),(1)fafa三、函数的表示法1、函数有哪几种常用的表示法？（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；（3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.2、分段函数的意义及其处理。四、映射问题提出函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？知识探究（一）考察下列两个对应：AB图1图2AB思考1:上述两个对应有何共同特点？集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.其中集合A中的元素x称为原象，在集合B中与x对应的元素y称为象.知识探究（二）思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？思考2:映射有哪几种对应形式？一对一，多对一思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.思考4:图1是从集合A到集合B的一个映射吗？图2是从集合B到集合A的一个映射吗？AB图1AB图2思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；五、函数单调性()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是减函数.()fx12()()fxfx对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则函数在区间D上是增函数还是减函数？12,xx12xx()fx()fx如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1.取数:任取x1，x2∈D，且x1x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.下结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.六、函数的最值七、函数的奇偶性1、如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.自变量相反时对应的函数值相等偶函数的定义域关于y轴对称2、如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.自变量相反时对应的函数值相反奇函数的定义域关于原点对称若f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(0)的值如何？f(0)=03、如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)×g(x)，f(x)÷g(x)的奇偶性如何？4、如果f(x)是定义在R上的任意一个函数，那么f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)奇偶性如何？f(x)+f(-x)是偶函数f(x)-f(-x)是奇函数5、二次函数是偶函数的条件是什么？一次函数是奇函数的条件是什么？b=0