数列求前N项和方法总结(方法大全-强烈推荐)

求数列{an}的前n项和的方法（1）倒序相加法（2）公式法此种方法主要针对类似等差数列中112nnaaaa,具有这样特点的数列．此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式．例：等差数列求和12nnSaaa111()[(1)]aadand①把项的次序反过来，则：()[(1)]nnnnSaadand②①+②得：1112()()nnnnnSaaaaaa个1()nnaa1()2nnnaaS公式：①等差数列：11()(1)22nnnaannSnad(1)2nnnnadmnmnSSSmnd*(2,,)2nnmmSSSnmmnNnnm②等比数列：qqaaqqaSnnn11)1(11；(1)qnmnnmSSSq③1+2+3+……+n=(1)2nn；2222123n1(1)(21)6nnn3333123n2(123)n221(1)4nn（3）错位相减法（4）分组化归法此种方法主要用于数列}{nnba的求和，其中}{na为等差数列，}{nb是公比为q的等比数列，只需用nnSqS便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．例：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=(1)2nn②若x≠1,则21123nnSxxnx2323nnxSxxxnx两式相减得：2(1)1nxSxx+…+nnnxx111nnxnxx∴21(1)1nnnxnxSxx例：求数列1，112，11124，……，11124+……+112n的和.解：∵11111242nna111()1221212nn∴1111(1)(1)224nS1111(1)242n211(21)(2)(2)2211(2)2n11112(1)242nn11222nn（5）奇偶求和法（6）裂项相消法此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．此方法主要针对12231111nnaaaaaa这样的求和，其中{an}是等差数列．例：求和11357(1)(21)nnSn解：当n=2k(kN+)时,2(13)(57)nkSS[(43)(41)]kk2kn当21()nkkN时，21222[(41)]nkkkSSSakk21kn综合得：1(1)nnSn例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求12233411111nnnSaaaaaaaa解：∵1111()()kkkkkkkkadaaaaaddaad1111111()()kkkkdaaddaa∴1223111111()()nSdaadaa1111()nndaa122311111111[()()()]nndaaaaaa1111()ndaa111[(1)]naand(7)分类讨论（8）归纳—猜想—证明此方法是针对数列{na}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出nS的表达式，然后用数学归纳法证明之.例：已知等比数列{na}中，1a=64，q=21，设nb=log2na，求数列{|nb|}的前n项和nS.解：na=1a1nq=n72∴nb=log2na=n7（1）当n≤7时，nb≥0此时，nS=－212n+213n（2）当n＞7时，nb0例：求和nS=21+23+25+…+2)12(n解：11S，102S，353S，844S，1655S，…观察得：nS=)14(312nn（待定系数法）证明：（1）当n=1时，)14(312nn=1=1S∴n=1时成立.（2）假设当n=k时，kS=)14(312kk则n=k+1时，此时，nS=212n－213n+42（n≥8）－212n+213n（n≤7）∴nS=212n－213n+42（n≥8）1kS=kS+2)12(k=)14(312kk+2)12(k=)12)(32(31kkk=]1)1(2][1)1(2[31kkkn=k+1时，成立.由（1）、（2）知，对一切n∈N*，nS=)14(312nn.