绝对值不等式题型解法练习(

一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如axfaxf)(,)(型不等式(1)当0a时axfaaxf)()(axfaxf)()(或axf)((2)当0a时axf)(，无解axf)(使0)()(xfxfy成立的x的解集(3)当0a时axf)(，无解axf)(使)(xfy成立的x的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合21|21|3,0,3xAxxBxx则A∩B是（）A.11232xxx或B.23xxC.122xxD.112xx分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312x即为含绝对值的不等式，这是形如axf)(型的绝对值不等式，其中0a，则axfa)(。解：因为312x,所以3123x，即解得)2,1(x解0312xx得，3x或21x所以211xxBA，故答案选D.二,形如)0()(abbxfa型不等式bxfaabbxfa)()0()(或axfb)(。例2不等式311x的解集为（）A.（0,2）B.)4,2()0,2(C.)0,4(D.)2,0()2,4(分析：原不等式是形如)0()(abbxfa型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311xx或，这样就转化为解简单的不等式问题。解：原不等式2420113311xxxx或或.故答案选D.三：形如)()(xgxf，)()(xgxf型不等式，解这类不等式时如果进行分类讨论，就比较的繁琐，其简洁解法如下：解法：把gx看成一个大于零的常数a进行求解（形如类型一）即)()()()()(xgxfxgxgxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf或例3（2011江苏高考理科第21题选做题D10分）解不等式：312xx.分析：xxxx312312原不等式转化为解不等式xx312,这里把x3看成大于零的数，去掉绝对值符号得xxx3123。解：原不等式xxxxxxxxx3123123123312324xx324x,故原不等式的解集为324x.小结：形如)()(xgxf，)()(xgxf型不等式,在高考题型中属于基础部分，难度不高，多出现在填空题与选择题中，记住这类题型的直接解法才能在高考中遇到这类题时轻易得分。类型四：形如)()(xgxf型不等式解法：可以先两边平方，通过移项，将其转化为两式相加与两式相减的积小于零的方法进行求解，即：22)()()()(xgxfxgxf0)()(22xgxf0)()()()(xgxfxgxf例4（2009年山东高考理科第13题5分）不等式0212xx的解集为（）分析：0212xx即为212xx，可以两边平方，通过移项，得到一般不等式0)2()12()2()12(xxxx，然后进行求解。解：原不等式2120212xxxx22)2()12(xx0)2()12(22xx0)2()12()2()12(xxxx3310xx11x故填11xx.小结：这类问题主要是考查学生怎样利用绝对值的定义将原不等式转化，绝对值是大于零的数，故可以将不等式的两边平方，再移项得到一个一般的不等式，然后求解。5．类型五：形如)()(),()(xfxfxfxf型不等式解法：绝对值里面的数小于或大于本身，要去绝对值符号可将这个函数看成是一般的常数理解，先利用绝对值的定义判断原不等式有无意义，然后求解，即)()(xfxf时，原不等式无解，而0)()()(xfxfxf。例5（2010江西理科第3题5分）不等式22xxxx的解集是（）A.(02)，B.(0)，C.(2)，D.),0()0,(分析：本题考查绝对值的定义与化简,绝对值大于本身,则知道02xx，解02xx就得原不等式的解集。解：20022x2-xxxxxx,故选答案A.小结：此类问题在高考题中一般比较简单，关键考查考生对绝对值定义的理解与其解法技巧，遇到此类问题时切记不要把问题复杂化了。6．类型六：形如cnxmxcnxmx,恒成立型不等式解法：利用三角不等式：bababa，结合最值原理即可解得即：mnnxmxnxmxcnxmxc)()(|)(maxmnnxmxnxmxcnxmxc)()(|min例6（2010高考安徽卷第21题10分）不等式aaxx3132对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是（）A.,41,B.,52,C.2,1D.,21,分析：因为函数4)1()3(13)(xxxxxf,所以4)(maxxf从而根据以上解法可以解得。解：设函数4)1()3(13)(xxxxxf所以4)(maxxf而原不等式对任意的实数恒成立，而41432aaaa或，故选A.小结：此类问题运用到三角不等式：bababa，利用此关系式求得最值，根据最值原理得到简单的不等式然后再求解即可，在高考中一般偏难，分值也较高，深入理解其解法非常重要。7．类型七：形如axgxfaxgxf)()(,)()(;)()()(),()()(xhxgxfxhxgxf（其中a为常数）型不等式。解法：对于解含多个绝对值项的不等式，需找零点分段讨论去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，一般步骤为：找到零点，分段，去掉绝对值，综合得出解集。例7（2011年山东理科第4题5分）不等式1035xx的解集是()A.[-5,7]B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7，+∞)D.(-∞，-4]∪[6,+∞)分析：这是形如axgxf)()(型不等式，首先找到零点-3和5，分三段即,5,5,3,3,，再在每个区间根据绝对值的定义去掉绝对值号，最后综合得出解集。解：（1）当3,x时，原不等式41035xxx，解得4x；（2）5,3x时，原不等式1081035xx，x不存在；（3）当,5x时，原不等式61035xxx，解得6x.综上，原不等式的解集为(-∞，-4]∪[6,+∞)，故选D.小结：此类问题在绝对值不等式中比较常见，也较为复杂，在分类讨论时更要仔细，要一步一步到位。练习：温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(七十)1.(1)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n].求m＋n的值；(2)若函数f(x)＝2|x＋7|－|3x－4|的最小值为2，求自变量x的取值范围.2.已知函数f(x)＝|3x－6|－|x－4|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式|3x－6|－|x－4|＞2x.3.(1)求不等式|2x－1|＜3的解集.(2)解不等式|5x＋1|＞2－x.4.(2011·福建高考)设不等式|2x－1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.5.(易错题)已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.(1)解不等式f(x)1；(2)g(x)＝ax2－3x＋3x(a0)若对任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)，试求实数a的取值范围.6.(2012·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值.(2)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)(t≥0).7.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.8.(预测题)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围.9.已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x－4|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求实数m的取值范围.10.已知f(x)＝x|x－a|－2.(1)当a＝1时，解不等式f(x)|x－2|；(2)当x∈(0,1]时，f(x)12x2－1恒成立，求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1得1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.(2)依题意，2|x＋7|－|3x－4|≥2，∴|x＋7|－|3x－4|≥1，当x43时，不等式可化为x＋7－(3x－4)≥1，解得x≤5，即43x≤5；当－7≤x≤43时，不等式可化为x＋7＋(3x－4)≥1，解得x≥－12，即－12≤x≤43；当x－7时，不等式可化为－x－7＋(3x－4)≥1，解得x≥6，与x－7矛盾.∴自变量x的取值范围为－12≤x≤5.2.【解析】(1)f(x)＝|3x－6|－|x－4|＝22xx24x102x42x2x4.正确画出图象.(2)在图中画出y＝2x的图象如图，注意到直线y＝2x与射线y＝2－2x(x2)交于(12，1)，线段y＝4x－10(2≤x≤4)在直线y＝2x下方，射线y＝2x－2(x＞4)在直线y＝2x下方且与直线y＝2x平行，故由图象可知不等式|3x－6|－|x－4|＞2x的解集为{x|x＜12}.3.【解析】(1)由|2x－1|＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2，∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2}.(2)由|5x＋1|＞2－x得5x＋1＞2－x或5x＋1＜－(2－x)，解得x＞16或x＜－34，故原不等式的解集为{x|x＞16或x＜－34}.4.【解题指南】(1)|2x－1|1－12x－11，解之即得x的取值范围；(2)用作差法比较ab＋1与a＋b的大小.【解析】(1)由|2x－1|1得－12x－11，解得0x1，所以M＝{x|0x1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0a1,0b1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)0，故ab＋1a＋b.5.【解析】(1)①当x－2时，原不等式可化为－x－2＋x－11，此时不成立；②当－2≤x≤1时，原不等式可化为x＋2＋x－11，即0x≤1，③当x1时，原不等式可化为x＋2－x＋11恒成立，即x1，∴原不等式的解集是(0，＋∞).(2)因为g(s)≥f(t)恒成立，即g(s)的最小值不小于f(t)的最大值，g(s)＝as＋3s－3≥23a－3，由几何意义可知f(t)的最大值为3.∴23a－3≥3，∴a≥3.6.【解析】(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，所以am1am5，解之得a2m3为所求.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，所以f(x)＋t≥f(x＋2t)|x－2＋2t|－|x－2|≤t①当t＝0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t0时，不等式①x22t22tx(2x)t或22tx2x22t(2x)t或x2x22t(x2)t解之得x