全等三角形典型例题

例1:如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证:AC＝AB。证明：连结AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PEA（HL）所以AD＝AE因为∠CAE=∠BAD所以△ACE≌△ABD（ASA）所以AC＝AB例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BEEDBADC∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB在△ABE中，AEAB+BE＝AB+AC即2ADAB+AC∴)(21ACABAD一、判断题：1、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（）2、有两条边对应相等的两个直角三角形全等（）3、有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等（）4、只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形（）5、已知一条直角边和一条斜边不能做一个直角三角形（）6、有一边对应相等的两个等腰三角形全等（）例3：如图所示，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC思路1：延长AB到E，使BD=BE，证明△AED≌△ACD。证明：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠E∵∠AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AC=AE。即AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。例4：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.思路：利用全等变换中的“旋转”证明：延长CB到G，使BG=DF.由BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD,得出△ADF≌△ABG（SAS）所以∠GAB=∠FAD,AG=AF.又因为BE+DF=EF，所以EF=EG.由EF=EG，AG=AF，AE=AE,得出△AEF≌△AEG（SSS）所以∠GAE=∠FAE因为∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°，所以∠EAF=1/2∠GAF=45°FEDCBA要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。