第二十二章《二次函数》知识点复习

二次函数复习一、二次函数的有关概念1、概念：形如20yaxbxca的函数叫做二次函数。其中二次项为2ax，一次项为bx，常数项c；二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c。2、练习例1、二次函数(1)(2)yxx的一般式是，二次项系数是________，一次项系数是_____________，常数项是____。例2、已知函数y=（m-1）x|m|+1是关于x的二次函数，则m=____________二、二次函数图象及画法1、画法要点：1、顶点坐标，2、与X轴的交点坐标，3、与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点2、图像抛物线开口方向对称轴顶点坐标大致图像y=2ax例(1)：23yxy=2ax+k例(2)：260yxy=2()axh例(3)：21(1)2yx2yaxhk例(4)：2)3(212xy20yaxbxca例(5)：223yxx三、二次函数的性质（1）开口方向、对称轴、顶点坐标1、开口方向看a的值00aa2、求对称轴3、求顶点坐标例3、求下列函数的顶点坐标，对称轴22221(1)(1)32(1)3yxyxyxyx（）　（2）　(3)　(4)　　222523365724+3yxyxxyxx（）　（6）　　　（）　（2）函数的增减性1、当a0,（1）、在对称轴的左侧(x≤h或),y随x的增大而减小在对称轴的右侧(x≥h或),y随x的增大而减大类似讨论a0（3）如何求二次函数的最值当x=-h时,y最小（大）=k例4、已知函数y=2245xx，则该抛物线的顶点坐标为对称轴为；当时，函数有最大值为；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大。（4）平移，配方例5、由22yx的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单位,得到的图象的函数解析式为：________例6、由2312()yx的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为：例7、.抛物线2yax向左平移一个单位,再向下平移8个单位且2yax过点(1,2).则平移后的解析式为：例8、.将抛物线264yxx如何移动才能得到2yx。四、如何二次函数图象与坐标轴的交点，及利用函数图像解方程和不等式（1）、求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程，即当y=0解方程的根则为交点的横坐标。（2）、抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；（3）、图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.x20axbxc2yaxbxcy(0)cx240bacx1200AxBx，，，12()xx0x0x22(-h)yaxkyaxbxc顶点式一般式22()yaxhkyaxbxc顶点式一般式2()424bacbxyaa最小大当时，2221()()yaxyaxmyaxmk　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　、222()yaxbxcyaxmk　　　　、一般式顶点式当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；2'当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．（4）、2a(0)yxbxca与y=m交点的横坐标即为方程2axbxcm的根。例9、（1）抛物线232yxx＝－＋与X轴的交点坐标是______，与Y轴的交点坐标是_________；（2）、函数277ykxx与x轴有交点,则k的取值范围是___________例10、如右图为二次函数223yxx的图象，按要求填空：抛物线与x轴交点为，与y轴交点为；当时，0y；当时，0y；当—8≤x≤2时，函数值的范围是。当–10≤x≤8时，函数的最小值是，有最大值是。例11、如右图，已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．五、二次函数解析式的三种形式：1、一般式：)0(2acbxaxy，顶点坐标：对称轴：直线当x=时，y最...值=2、顶点式：2()yaxhk，顶点坐标：（，）对称轴：直线当x=时，值最.....y=3、两根式：))((21xxxxay，其中21,xx是cbxax2=0的两个实数根，图象与x轴的两个交点坐标为（，）和（，）例12、分别求出满足下列条件的二次函数的解析式：⑴图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。⑵图象与x轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）。⑶当x=2时，y最大值=3，且过点（1，-3）。六、二次函数20yaxbxca中的常数a,b,c及24bac的符号问题1、a的符号，确定抛物线的开口：0a时；0a时。2、ab的整体符号，确定抛物线对称轴的位置：当0ab（即02ba）时，对称轴是，在y轴的，当0ab（即02ba）时，对称轴是在y轴的侧，特殊地，当0b1'0axx0y0axx0y图（2）0321-4-3-2-1-1-1xyoyx时，02ba，抛物线的对称轴为。归纳：当a的符号、b的符号、对称轴的位置，若已知其中两个可以确定第三个：。（记忆方法“左同右异”）3、c的符号，确定抛物线与y轴交点（0，c）的位置。0c时，交点在y轴的正半轴；0c时，交点在y轴的负半轴上。特殊地0c时，抛物线过原点。又若0b时，抛物线的顶点在原点。4、24bac的符号，确定抛物线与x轴的交点个数。0时，有两个交点；0时，只有一个交点，且抛物线的顶点在x轴上；0时，没有交点。5、常考式子：①y=a+b+c,②y=a-b+c,③y=4a+2b+c,④y=4a-2b+c例13、如图为二次函数20yaxbxca的图象，则可判断正负性为，(1)a,b,c,△.(2)a,b,c,△例14、如上图已知二次函数y=ax2+bx+c，如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是（）七、实际问题（1）已知解析式，求最值问题。（汽车滑行，飞机着陆等）（2）面积，周长最值类；营销利润最大化的应用；（3）桥洞类：足球射门，铅球比赛成绩，拱桥，拱门高度，船通过桥洞类等实际问题的应用。练习：类式题型见学考精炼P49-P50.八、补充知识点：（1）铅垂高求面积12sah；（2）两点间距离公式：已知点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离为：221212ABxxyy九、（综合类）例15、已知：如图2，抛物线y=－x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（－1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.图（1）0xy