搜索
第1页沧州师范学院教案第1章数学建模简介§1.1数学建模的方法1.1.1数学建模与数学模型(1)数学建模数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段.(2)数学模型简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。1.1.2数学建模的方法(1)机理分析法:从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3.逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立瞬时变化率的表达式。5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。(2)数据分析法:从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。第2页沧州师范学院教案3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。(3)仿真和其他方法：1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。离散系统仿真--有一组状态变量。连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。1.1.3建立数学模型的步骤:第一模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。第二模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。第三模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是第3页沧州师范学院教案泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。第四模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。第五模型分析对模型解答进行数学上的分析。横看成岭侧成峰，远近高低各不同，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。第4页沧州师范学院教案§1.2数学建模竞赛概述数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2002年全国共有27省市612所院校4913个队参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。我校于1993年开始参加这项竞赛活动。现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖。1.2.1竞赛技巧数学建模竞赛最重要的就是合理安排好三天三夜的时间和工作，任何一点时间的浪费都可能造成致命的后果。要把72小时变成3×72小时，这就需要三个人之间的配合默契，决不允许有二个人或三个人做重复的事情。竞赛过程中既要各负其责，发挥各自的优势，又要相互配合。对于竞赛，每个参赛队员在战略上要藐视它，而在战术上要重视它。既要信心十足，勇于拼搏，争取拿出最好的水平，但对于竞赛中可能出现的困难和问题，也要有心理准备，要勇于面对。在遇到困难和问题时，决不能临阵退缩，自暴自弃，否则，多日汗水将付之东流。竞赛期间及时的、愉快的交流是竞赛成功的必要保障。数学建模竞赛时，参赛队员既要分工，又要有合作。及时地交流信息有助于程序设计、算法设计，特别是在时间比金子还宝贵的条件下，一定要注意及时交流信息，同时，愉快地交流能驱赶连续紧张造成的疲劳，成为相互支持，相互鼓励的有效手段。数学建模竞赛的三天是非常辛苦的，每天有适当的睡眠对保持充沛的体力十分必要，特别是最后一天，没有一定的体力作保证，是很难创造出好成绩的。全国大学生数学建模竞赛的开展和成功实践，从一个侧面探索出了以大学生学科竞赛为实践载体、有效促进教学改革的一种实践模式，并对电子类专业课程体系与内容的改革，尤其是实践教学的改革确实起到了积极的促进作用。竞赛有益于引导高校在教学中培养学生的创新能力、协作精神第5页沧州师范学院教案和理论联系实际的学风；竞赛有益于发现人才，为优秀人才的脱颖而出创造了机会和条件；同时全国大学生数学建模竞赛组委会与企业界协作，探索出的“支持教育，培养人才，发现人才，使用人才，企业受益”的社会参与办教方式，也为今后开展其它类型的大学生学科竞赛提供了可借鉴的操作方式，并为有战略眼光的企业开展助学活动提供了可借鉴的成功范例。1.2.2竞赛题型：赛题题型结构形式有三个基本组成部分：一、实际问题背景1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。2.一般都有一个比较确切的现实问题。二、若干假设条件有如下几种情况：1.只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；2.给出若干实测或统计数据；3.给出若干参数或图形；4.蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。三、要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）:1.比较确定性的答案（基本答案）；2.更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。1.2.3试卷格式竞赛答卷:提交一篇论文.基本内容和格式大致分三大部分：一、标题、摘要部分：1．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。2．摘要--200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。3．内容较多时最好有个目录。二、中心部分：1．问题提出，问题分析。2．模型建立：补充假设条件，明确概念，引进参数；第6页沧州师范学院教案模型形式（可有多个形式的模型）；模型求解；模型性质；3．计算方法设计和计算机实现。4．结果分析与检验。5．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。6．参考文献--注意格式。三、附录部分：1．计算程序，框图。2．各种求解演算过程，计算中间结果。3．各种图形、表格。专家谈：建模论文写作技巧一、写好数模答卷的重要性1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。2.答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。3.写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。二、答卷的基本内容，需要重视的问题1评阅原则：假设的合理性，建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。2答卷的文章结构0．摘要1．问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略2．模型的假设，符号说明（表）3．模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型等）4．模型的求解▲计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；▲引用或建立必要的数学命题和定理；▲求解方案及流程5．结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验……第7页沧州师范学院教案6．模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广…….7．参考文献8．附录计算框图详细图表……3要重视的问题0．摘要。包括：a.模型的数学归类（在数学上属于什么类型）b.建模的思想（思路）c.算法思想（求解思路）d.建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验…….）e.主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）▲表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。务必认真校对。1．问题重述。略2．模型假设跟据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。（1）根据题目中条件作出假设（2）根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意3．模型的建立（1）基本模型：1)首先要有数学模型：数学公式、方案等2)基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型1）要明确说明：简化思想，依据2）简化后模型，尽可能完整给出（3）模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。u能用初等方法解决的、就不用高级方法，u能用简单方法解决的，就不用复杂方法，u能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异数模创新可出现在▲建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，▲模型求解中▲结果表示、分析、检验，模型检验第8页沧州师范学院教案▲推广部分（5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：分析：中肯、确切术语：专业、内行原理、依据：正确、明确,表述：简明，关键步骤要列出忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。4．模型求解（1）需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。（2）需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称（3）计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。（4）设法算出合理的数值结果。5．结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示（1）最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；（2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；（3）题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；（4）列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；（5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式▲求解方案，用图示更好（6）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。6．模型评价优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。7．参考文献8．附录详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出